Kopyalama dilinin durum karmaşıklığı nedir?

Bir sayı verilsin. Aşağıdaki dili düşünün $n$ . $L_n = \{ \; ww \; \vert \; w \in \{0,1\}^{n} \; \}$

Kelimelerde, , uzunluğunda kopya dizeleridir . $L_n$ $2n$

Düşünün Aşağıdaki durum karmaşıklığı fonksiyonu , öyle ki tanıyan küçük ters otomata durum sayısı olan . $s$ $s(n)$ $L_n$

Soru: için anlamlı herhangi bir alt sınır kanıtlayabilir misiniz ? $s(n)$

Bağlamım: . $s(n) = 2^{\Theta(n)}$

Bilinen Üst Sınır: . $s(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot 2^{\frac{n}{2}}$

Kurallar:

(1) Yığın alfabesi ikili olmalıdır.

(2) Giriş bandı tek yönlüdür ve herhangi bir giriş karakteri üzerinde duramaz.

— Michael Wehar
kaynak

Şu anda anlamlı bir alt sınırım yok. Bana öyle geliyor ki, dili tanıyan bir CFG için ihtiyaç duyduğunuz değişken sayısı için bir alt sınır kanıtlayabilirsiniz. Buna rağmen bundan tam olarak emin değilim.

— Michael Wehar

Sezgim, karakterleri giriş kasetinden yığına doğru iterken bir sorunla karşılaşmanızdır. Bu bitleri daha sonra almak isterseniz, üzerine ittiğiniz tüm bitleri atmanız gerekir. Başka bir deyişle, yığının size yardımcı olmadığı anlaşılıyor çünkü ona ne kadar çok basarsanız, daha sonra unutmaya o kadar zorlanırsınız.

— Michael Wehar

Not: DFA'lar için (yığınsız otomata), üstel durum karmaşıklığının alt sınırını kanıtlayabilirsiniz.

— Michael Wehar

Daha basit

problemi için makul bir alt sınır gösterebilir misiniz ?

{0^{k} 1^{l} 0^{k} 1^{l}}

$\{0^k1^l0^k1^l\}$

— András Salamon

Daha kesin bir üst sınır,

durumu gibi görünmektedir .

(n + 3) 2^{n / 2}

$(n+3)2^{n/2}$

— András Salamon

Yuval tarafından tarif edilen teknik:

Bu sonlu dili tanımlayan polinom boyutlu CFG var mı?

(ayrıca okuyabilirsiniz: Belirli sonlu diller için CFG'lerin boyutuna daha düşük sınırlar )

CFG'ler için üstel bir alt sınırın kolayca gösterilmesini sağlar. Let için Chomsky Normal Formunda bir dilbilgisi . Her bir kelime için, , en az bir terminal olmayan vardır kabul eden bir alt-kelime arasında arasındaki uzunluğa sahip ve . Let bir pozisyon $G$ $L_n$ $w\in \{0,1\}^n$ $A(w)$ $s(w)$ $ww$ $n/2$ $n$ $p(w)$ $ww$ bu alt sözcüğün gerçekleştiği yer. Tüm kelimelerinde ortak olan ve şekilde en az bit vardır . Sonuç olarak, aynı ve kelimelerine sahip en fazla kelime olabilir . Dolayısıyla en az $n/2$ $w,w'$ $A(w)=A(w')$ $p(w)=p(w')$ $2^{n/2}$ $A(w)$ $p(w)$ terminal olmayan. $2^{\Theta(n)}$

Bu da vermektedir Bundan başka, PDA polinom büyüklüğü, CNF bir CFG dönüştürülebilir durumu karmaşıklığına bağlı . $2^{\Theta(n)}$ $L_n$

— Joseph Stack
kaynak

Harika, tekrar teşekkürler! Şimdi görüyorum ve onaylamak için düşüneceğim. :)

— Michael Wehar

Sağdan tekrar: uzunluğu

den

başka bir sorun yarattı. Bu argümanı Yuval'ınkine benzer şekilde düzeltmek zorunda kaldım (sayma çakışmaları). Şimdi bunun doğru olduğuna inanıyorum, sonunda. Cevabı düzenledim ve yorumlarımı sildim

[n, 2 n]

$[n,2n]$

[n / 2, n]

$[n/2,n]$

— Joseph Stack

Durumda başkasının yardımcı olur: notu keresinde

seçilmiştir,

sadece hiç tek alt-kelime verebilmesidir

o pozisyon başlar

. Bu aslında, bu dil için doğru CNF-CFG'lerin her birinin tek bir uzun alt sözcük üreten birçok nonterminal içermesi gerektiğini gösterir.

(A (w), p (w))

$(A(w),p(w))$

A (w)

$A(w)$

w w

$ww$

p (w)

$p(w)$

— András Salamon

Ayrıca makalemdeki Teorem 7'ye bakınız: cs.toronto.edu/~yuvalf/CFG-LB.pdf .

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Andras'ın üst ve alt sınırları eşleştirmeye çalışmak için biraz zaman harcadığını da belirtmek gerekir. Arkadaşım Pepe ve ben genel bir sonlu dil sınıfı tanımladık ve tekniği onlara uyguladık. Yine de hiç bir şey yazmadık. Bununla ilgili herhangi bir sorun yaşarsanız, işbirliği yapmaya istekliyiz. Tekrar teşekkürler.

— Michael Wehar