Graph Isomorphism'in

Benim yayında Fortnow yorumuyla, motive Grafik İzomorfizma sorun olmadığını kanıtlar -tamamlamak$NP$ ve gerçeğiyle için aday olacak Ara tepkime sorunu (değil içinde -Komple ne de ), ben bilinen kanıtlar ilgilenen am bu değildir .N P N $GI$$NP$$NP$G I $P$$GI$$P$

Bu tür bir kanıt, kısıtlı bir Grafik Otomorfizmi probleminin tamlığıdır (sabit nokta ücretsiz grafik otomorfizması problemi tamdır). Bu sorun ve diğer genellemeler "çalışıldı Grafik İzomorfizma benzer bazı NP-tam problemler Lubiw tarafından". Bazıları, 45 yıldan fazla olmasına rağmen, hiç kimsenin için polinom-zaman algoritması bulunmadığının kanıtı olduğunu iddia edebilir .N P G $NP$$NP$$GI$$GI$

olmadığına inanmak için başka hangi kanıtlara ihtiyacımız var ?$GI$$P$

Bu sorudan önce, benim fikrim Graph Isomorphism'in P'de olabileceği, yani GI'nin P'de olmadığına dair hiçbir kanıt bulunmadığıydı. Bu yüzden kendime benim için kanıt olarak neyin sayılacağını sordum: için olgun algoritmalar varsa - tamamen mevcut yapısını istismar olduğunu grup izomorfizma p sonra o GI kabul edeceğini, polinom çalışma zamanını elde etmek için hiçbir umut olurdu hala -gruplarından ve benzeri mevcut yapıyı istismar muhtemelen P. Orada bilinmektedir değil algoritmaları olan izomorfizma için test p - grupları. O'Brien (1994) tarafından$p$$p$$p$, ancak mevcut yapıyı tamamen kullanıp kullanmadığını ya da polinom çalışma zamanını elde etmek için bu algoritmayı iyileştirme umudunu ( -gruplarının açık olmayan ek yapısını kullanmadan) kullanmadığına karar vermek için yeterince ayrıntılı olarak okumadım.$p$

Ancak Dick Lipton'ın genel olarak grup izomorfizmi sorununun ve özellikle de -grubu izomorfizmin probleminin hesaplamalı karmaşıklığını netleştirmek için 2011'in sonuna doğru harekete geçilmesi gerektiğini biliyordum . Bu yüzden googled$p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

Eylem çağrısının başarılı olup olmadığını görmek için. Gerçekten de öyleydi:

1. Grup İzomorfizmi Sorunu: Muhtemel Bir Polymath Sorunu?
2. Grup İzomorfizmasındaki Gelişmeler
3. CCC'den Üç Kişi: Grup İzomorfizmasında İlerleme

Son gönderi , bazı önemli grup aileleri için çalışma zamanı sağlayan, mevcut yapının çoğundan yararlanan ve 1994'ten itibaren yukarıda belirtilen kağıdı kabul eden bir makale incelemektedir. Çünkü n O ( log log n ) çalışma zamanı bağlı Hem grafik izomorfizminin pratikte zor olmadığı hem de hiç kimsenin polinomlu bir zaman algoritması (grup izomorfizmi için bile) elde edemediği tecrübesi ile uyumludur. .$n^{O(\log \log n)}$$n^{O(\log \log n)}$

Bir kara kutu ayarındaki önemsiz olmayan izinlerin daha iyi olmadığını doğrulamak için kontrol etmeniz gereken en küçük permütasyon kümesi ! fakat yine de üstel, OEIS A186202 .$n!$

Etiketlenmemiş bir grafik depolamak için gereken bit sayısı arasında ($log_{2}$. Naor, Moni'ye bakınız. "Genel etiketlenmemiş grafiklerin özlü gösterimi." Ayrık Uygulamalı Matematik 28.3 (1990): 303-307. Hatırladığımda sıkıştırma yönteminin kanıtı biraz daha temiz. Her neyse,Ukümesini arayalım. LetL=2 (${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$$U$ etiketli grafikler için.$L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)    

ve B o o L L L Eğer üstel dönüştürmek ise. Sadece imzalarını incelemek, grafikleri kanonik bir forma sokmak daha kolay görünüyor, ancak yukarıda gösterildiği gibi, GC GI'yi kolaylaştırıyor.$U^L$$Bool^{L^{L}}$

Kozen bildirisinde, grafik isomorphism için bir klik sorun eşdeğer , bu bir kanıt sağlar değil P . Kağıttan aşağıdakiler gelir:$GI$$P$

“Yine de, grafik izomorfizmi için polinomlu bir zaman algoritması bulmanın NP-eksiksiz bir problem için polinomlu bir zaman algoritması bulmak kadar zor olacağı muhtemeldir. Bunların NP tamamlandı. "

Ayrıca, Babai, son buluşmasında “ Quasipolynomial zamandaki Graph Isomorphism” adlı makalesinde , GI için etkili algoritmaların varlığına karşı bir argüman vermektedir. O (GI indirgenebilir) grubu İzomorfizma sorunun GI yerleştirerek büyük bir engel olduğunu gözler . Grup İzomorfizmi problemi (gruplar Cayley tableis'leri tarafından verilir) n O ( log n ) ' de çözülebilir ve P de olduğu bilinmemektedir .$P$$n^{O(\log n)}$$P$

İşte Babai'nin makalesinden bir alıntı:

Bu çalışmanın sonucu, Grup İzomorfizmi sorununun (ve belirtilen zorluk sorununun) GI'yi P'ye yerleştirmenin önündeki bir engel olarak önemini arttırmaktadır. devam edecek.

İşte henüz alıntılanmayan diğer sonuçlar

• Graph Isomorphism / Torán FOCS 2000 ve SIAM J. Comput. 33, 5 1093-1108.

  Grafik izomorfizma probleminin DLOGTIME tekdüze AC ⁰ altında çok zorlu olduğunu göstermekteyiz, modl sınıfı her bir logaritmik uzay mod _k sınıfı için ve sınıflandırma kl için Modl L, ve sınıflandırma problemleri için NC ¹ azaltılabilir. determinant Bunlar, grafik izomorfizmi problemi için bilinen en güçlü sertlik sonuçlarıdır ve mükemmel eşleştirme probleminden grafik izomorfizmine rasgele bir logaritmik uzay azalması anlamına gelir. Ayrıca grafik otomorfizm probleminin sertlik sonuçlarını da araştırıyoruz.

• Grafik İzomorfizmi AC ⁰ , Grup İzomorfizmi / Chattopadhyay, Toran, Wagner'e indirgenemez

  Girdi yapıları açıkça çarpım tablosuyla belirtildiğinde, Grup ve Quasigroup İzomorfizm problemleri için yeni bir üst sınır veriyoruz. Bu problemlerin O (log log n) derinliği ve O (log ² n) nondeterministik bit ile sınırlandırılmamış fan girişinin polinom büyüklüğü nondeterministik devreleri ile hesaplanabileceğini gösterdik , burada n grup element sayısıdır. Bu, problemler için mevcut üst sınırı [Wol94] 'den geliştirir. Önceki üst sınırda devreler fanin ancak derinliği O (log ² n) ve ayrıca O (log ² n) sınırsız bitleri de sınırladı . Daha sonra üst sınırımızdan gelen devrelerin türünün Eşlik işlevini hesaplayamadığını kanıtlıyoruz. Parite AC ^{0 olduğundan}Graph Isomorphism'e indirgenebilen, bu, Graph Isomorphism'in AC ⁰ indirimleri tarafından tanımlanan sıraya göre Grup veya Quasigroup Isomorphism'den kesinlikle daha zor olduğu anlamına gelir .