Bir Borsuk-Ulam noktası bulmanın karmaşıklığı

Borsuk-Ulam teoremi her sürekli tek fonksiyonu söylüyor Öklid n-boşluğa bir n-küreden, bir nokta vardır şekilde .$g$$x_0$$g(x_0)=0$

Simmons ve Su (2002) , Tucker'ın kullanarak noktasına yaklaşmak için bir yöntem açıklamaktadır . Ancak, yöntemlerinin çalışma zamanı karmaşıklığının ne olduğu açık değildir.$x_0$

Diyelim ki, fonksiyonu için bir kehanet ve yaklaşım faktörü verildi . Çalışma zamanı karmaşıklığı nedir ( bir fonksiyonu olarak ):$g$$\epsilon>0$$n$

1. Bir noktayı bulma such ?$x$$|g(x)|<\epsilon$
2. Bir nokta bulmak öyle ki , zaman bir noktaya tatmin edici ?$x$$|x-x_0|<\epsilon$$x_0$$g(x_0)=0$

Papadimitriou, "Eşlik argümanının karmaşıklığı ve diğer verimsiz varoluş kanıtları" dersini veren makalede bu sorunun bir versiyonunun PPAD-tamamlanmış olduğunu gösterdi .

Sorunun formülasyonu:

Borsuk-Ulam. ve ( küresinin yüzeyi ile her bir n değeri için bir tamsayı ve bir Turing makinesi , bir işlev ile . ile bir bulun .- n ≤ x i ≤ n maks | x i | = n L 1 f ( p ) f ( p ) ≤ $P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$ x| f(x)-f(-x)| ≤$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(Sidenote - sabit nokta tipi bir teorem gördüğünüzde, PPAD onu bulmanın karmaşıklığı için iyi bir tahmindir ...)

Kahin nasıl verilir ve hakkında ne biliyoruz ? Eğer kehanet kara kutuysa ve sadece sürekli tek olduğunu biliyoruz , o zaman zaten için sonsuz sayıda soruya ihtiyacımız olabilir ...g n = $g$$g$$n=1$

Eğer kehanet bir Turing makinesi tarafından verilirse, o zaman probleminizin

1. FIXP tamamlama,

2. PPAD tamamlama,

burada girişin boyutu uzunluğundadır . Bunlara giriş için bkz. Http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf .$\epsilon$