Üst sınırları kanıtlayarak alt sınırları kanıtlamak

Son çığır açan devre karmaşıklığı Ryan Williams'ın düşük sınırlanmış sonucu, karmaşıklığın düşük sınırlarını kanıtlamak için üst sınır sonucunu kullanan bir ispat tekniği sağlar. Suresh Venkat bu soruya cevabında , Teorik bilgisayar bilimlerinde herhangi bir karşı sezgisel sonuç var mı? üst sınırları ispatlayarak alt sınırlar oluşturmanın iki örneği sağlanmıştır.

• Karmaşıklık üst sınırlarının kanıtlanmasıyla elde edilen karmaşıklık alt sınırlarının kanıtlanması için diğer ilginç sonuçlar nelerdir?

• (ya da P \ ne NP ) anlamına gelecek herhangi bir üst sınır varsayımı var mı?$NP \not\subseteq P/poly$$P \ne NP$

Bir soru çevirme, ve alt sınır ne beklersiniz ki değil bir üst bağlı kanıtlayarak kanıtladı. Hemen hemen tüm iletişim karmaşıklığı alt sınırlar (ve akış algoritması alt sınır ve veri yapısı alt sınırların iletişim karmaşıklığı argümanlarına dayanan alt sınırları), iletişim protokolünün yapısına bağlı olarak kodlamanın uzunluğuna bağlı olarak kodlama şemasına dönüştürülebileceğini göstererek kanıtlanır. protokolün iletişim karmaşıklığı ve protokol için alt sınır, n-1 bitlerini veya daha azını kullanarak tüm n bit mesajlarını kodlayamamanız gerçeğinden kaynaklanır.

Razborov-Smolensky devresi alt sınırları, sınırlı derinlikli devrelerin düşük dereceli polinomlarla nasıl simüle edileceğini göstererek çalışır.

Üst sınırla kanıtlanmayan birkaç alt sınır adayı, zaman hiyerarşisi teoremi (en dar sınırları elde etmek için, önemsiz bir algoritmik görev olan etkin bir evrensel turing makinesine ihtiyaç duysa da) ve kanıt olabilir. anahtarlama lemasını kullanan AC0 alt sınırlarının sayısı (ancak anahtarlama lemmasının en temiz kanıtı sayım / sıkıştırılabilirlik / Kolmogorov karmaşıklığını kullanır)

Tuhaf bir şekilde, PCP teoreminin kendisi bir üst sınır yoluyla bir alt sınır olduğunu kanıtlamanın iyi bir örneğidir. İspat prob ve sadece bir sabit sayıda yol kullanıldığında, bir kanıt doğrulanması için bir "etkin" randomize strateji bir alt 3SAT örneğine memnun maddelerin sayısını yaklaştırmak için bağlanan rastgele bit potansiyel.$\log n$

Sıkıştırılamazlık yöntemi, düşük sınırları kanıtlamak için Kolmogorov karmaşıklığına dayanan bir yöntemdir. Bu yöntemin ilk uygulamalarından biri, bir Turing makinesindeki palindromları tek bir bantla tanımanın ikinci derece zaman gerektirdiğini kanıtlamaktı.

Gevşek bir şekilde konuşursak, bu yöntemin amacı bu girdi üzerinde düşündüğümüz problemi çözen bir algoritma çalışmasında yer alan bilgileri kullanarak bir girdi bulma prosedürünü tanımlamaktır. Prosedür ne kadar iyiyse, orijinal problemdeki sınır o kadar yüksek olur.

Tabii ki, tüm detaylar Li ve Vitanyi'nin ders kitabında bulunabilir .

"Üst sınır üzerinden alt sınır" sorusu için sordun:

STOC 2010 “İnteraktif İletişimi Nasıl Sıkıştırır” makalesi [BBCR10] , etkileşimli iletişim için geliştirilmiş bir sıkıştırma protokolü göstererek, randomize iletişim karmaşıklığı için gelişmiş bir doğrudan toplam teoremine ulaşır.

Spesifik olarak, bunların karşılıklı girişlerin bir ortak işlev (yani, bir interaktif hesaplama senaryosu) işlem iki tarafı göz önüne alındığında, bu iletişim herhangi bir protokol olduğunu göstermektedir bit ve ortaya kullanarak yeni bir protokol ile simüle edilebilir taraflara yeni bilgi bitleri bit - gelişmiş üst sınır.$C$$I$$\tilde O(\sqrt{CI})$

Bu iyileştirilmiş protokol sıkıştırma bir sonucu olarak, bunlar en kötü durumda olduğunu göstermektedir: Herhangi bir fonksiyon Verilen alır bilgisayar, bireysel olarak hesaplamak için zaman kopyalarını en az gerektirir zaman - Geliştirilmiş alt sınır.$f$$n$$k$$f$$\sqrt{k} \cdot n$

Bu bir şekilde sorduğun şeyden farklı, ama konuyla ilgili olduğu için ondan bahsedebileceğimi düşündüm.

Carter ve Wegman (1977) , evrensel karma kavramını ortaya koydu . Nosyon , yaklaşık daha düşük sınırları kanıtlamak için sayısız makalede ( Sipser (1983) , Stockmeyer (1983) , Babai (1985) ve Goldwasser & Sipser (1986) ) kullanılmıştır .

Bu, Fortnow'un yaklaşık üst sınırları kanıtlamak için evrensel karmaşayı kullandığı 1987 yılına kadardı . (Aslında, yaklaşık üst sınırları kanıtlamak için bir protokol sağlamak.)

Düzenle:

Bunlar düşük sınırlı sonuçlar değildir, ancak yine de faydalı olabilirler:

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_2^p}=\rm{\Pi_2^p}$

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{AM}=\rm{MA}$

$\rm{coNP} \subset \rm{NP/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_3^p}=\rm{\Pi_3^p}$

Dick Lipton'ın blog güzel bir örnek buldum, Açıklayıcı Karmaşıklık yoluyla P = NP Bir Yaklaşım , O ima edecek bir üst sınır varsayım (Hipotez H) önermektedir .$P\ne NP$

Hipotez H : Horn cümleciklerinin olduğunu varsayalım . Eğer tatmin edilebilirlerse, o zaman cümlelerin açıklama karmaşıklığındaki çoğu polinomda açıklama karmaşıklığına sahip cümlecikler için geçerli bir atama vardır.$C$$C_{1} \wedge \dots \wedge C_{m}$

Teorem : Hipotezin H doğru olduğunu varsayalım. Sonra$P \ne NP$

İşte Hesaplamalı Karmaşıklıktan bir örnek: Arora ve Barak'ın Modern Bir Yaklaşımı (sayfa 128):

Her dil ise boyutu devrelere sahiptir , sonra$EXP$$o(2^{n} /n)$$P \ne NP$