Üzerinde PIT Sonuç açısından verimli bir algoritma olmamasından

Verilen gibi katsayıları olduğu içinde kalan , yapar ambar?$p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$$p,q$$B$$p\equiv q$

Schwartz-Zippel lemması, genel alanlar ve ve bu sorun için etkili bir randomize algoritma olduğu için burada geçerlidir.$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Bu sorunun etkin bir derandomizasyona sahip olmasını bekliyoruz.

Bu sorunun etkili bir derandomizasyona sahip olmaması durumunda sonuç ne olur?

PIT içinde olduğundan, etkin bir derandomizasyon yoksa (ve özellikle , ancak bu o kadar şaşırtıcı değil, çünkü bunun zaten doğru olmasını bekleriz). Bu aynı zamanda de ima eder, bu nedenle anlamına gelen her şey yanlış olur. Örneğin, yeterince güçlü sayı üreteçleri mevcut değildir ve boyutsal devrelere sahiptir!P ≠ R P P ≠ N P P ≠ B P P P = B P P E = D T I M E ( 2 O ( n )$\mathsf{coRP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$$\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$$\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

Burada büyük resim sorunlarını merak ediyorsunuz. Doğal bir sayı kanonik olarak tek notasyonda temsil edilebilir, ancak bu temsil oldukça boşluk verimsizdir. Ayrıca, daha fazla yer tasarrufu sağlayan, ancak artık kanonik olmayan ikili gösterimle de temsil edebilirsiniz, çünkü aynı zamanda kiracı gösterimi veya ondalık gösterimi de kullanabilirsiniz. Ancak, devrelerle temsilin ikili gösterime göre önemli ölçüde daha az verimli olmadığına dikkat edin, örneğin bkz.

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

Ve (...)*(1+1)bununla değiştirilebileceğine dikkat edin x:=(...) in x+x, bu yüzden bunun için çarpmaya bile ihtiyacınız yoktur. Ancak çarpmanız olduğu için, gibi sayıları bile verimli bir şekilde temsil edebilirsiniz 1011^101101. Ayrıca, bu gösterimde sayıları etkili bir şekilde ekleyebileceğiniz, çıkarabileceğiniz ve çarpabileceğinizi unutmayın. Ancak bu temsil sayılarla sınırlı değildir, çok değişkenli polinom fonksiyonları için de aynı şekilde çalışır. Ve polinomlar için, bu oldukça doğal bir temsildir, çünkü polinomlar değişmeli halkalar için serbest cebirdir ve devre olarak temsil herhangi bir serbest cebir için kullanılabilir.

Ama bir an için (doğal) sayılara geri dönelim, gibi sayılar . NJ Wildberger bazı ultrafinitist sınıflar yazdı, örneğin Set Theory: İnanmalı mısın? . Bölümünde Doğal sayılar ne olacak? gibi sayıların varlığı kabul edilir, çünkü bunları açıkça yazabilirsiniz. Fakat ile arasında neredeyse tüm doğal sayıların varlığı$c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$$c$$0$$c$reddedilir, çünkü bu sayıların çoğu fiziksel evren tarafından temsil edilebileceğinden daha fazla bilgi içerecektir. Çoğu rant beni güldürdü, ama bu nokta beni düşündürdü. Willard Van Orman Quine gibi filozoflar, diğerlerinin yanı sıra, akla yatkın olmayan olasılıkların varlığını iddia etmeyi protesto ettiler çünkü bunlar, kendileriyle aynı ve birbirinden farklı olduğu söylenemeyen düzensiz öğelere yol açıyor. Bu yüzden, hala toplama, çıkarma ve çarpma gerçekleştiren sayı sunumlarını merak etmeyi ve en azından anlamlı olarak iki sayının birbirinden farklı olup olmadığını belirlemeyi makul buluyorum. Devre gösterimi bunu başarır ...

Serbest cebirlerin polinomlarına ve devre gösterimlerine geri dönelim. İşte bazı büyük resim soruları:

• Bu serbest cebirin temsili her zaman etkin olasılıklı kimlik testine izin verir mi, yoksa bu değişmeli halkalarla sınırlı mıdır?
  -> Kimlik testi genellikle kararlaştırılamaz: , element tarafından üretilen serbest modüler kafes sonsuzdur ve aslında kararsız bir kelime problemi vardır (Freese, Herrmann).$n\geq 4$$n$
• Etkili deterministik kimlik testinin P! = NP gibi yaygın olarak inanılan varsayımları geçersiz kılacağı serbest bir cebir var mı?
  -> Evet, normal değişmeli halkalar için serbest cebirin kimlik testi NP-eksiksizdir. Bunu uzun zamandır fark etmedim, aşağıya bakın ...
• (= değişmeli halkaların serbest cebiri) için etkili deterministik kimlik testi ilginç varsayımları geçersiz kılar mı?$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Özellikle düzenli değişmeli halkalar için ücretsiz cebir merak ediyorum burada onlar rasyonel sayılar ve rasyonel fonksiyonlarını temsil olanak sağlayacak şekilde, (genelleştirilmiş ters operasyonla yani halkalar). Bu gösterimi yalnızca sayılar için kullansaydık, bu gösterimi verimli bir şekilde test edip edemeyeceğimizi merak etmiş olabiliriz a < b. Bu soru, serbest değişmeli halka için anlamlı değildir, ancak bunları kısmen kısmen sıralı halkalar bağlamında yorumlarsak, polinomlar için anlamlı olabilir. Ancak kısmen sıralı bir halka, bir cebir yerine sadece ilişkisel bir yapıdır, bu yüzden bu farklı bir soru türüdür ...

Schwartz-Zippel lemması, genel alanlar ve ve bu sorun için etkili bir randomize algoritma olduğu için burada geçerlidir.$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Schwartz-Zippel lemmasının burada uygulandığı ve bu sorun için etkili bir randomize algoritmanın olduğu doğrudur, ancak bu iki gerçek doğrudan ilişkili değildir. Bir devre ile gibi polinomları verimli bir şekilde temsil etmenin kolay olduğunu hatırlayın . Eğer devre boyutu ise, veya katsayı büyüklüklerine ulaşmak kolaydır. Bununla birlikte, olasılıksal polinom kimlik testi hala üzerinde çalışıyor . Katsayılar üzerindeki sınırn 7 2 n / 2 5 3 n / 3 Z B = exp ( exp ( n ) ) O ( log B $((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$$n$$7^{2^{n/2}}$$5^{3^{n/3}}$$\mathbb Z$$B=\exp(\exp(n))$ve tüm katsayıları aynı anda bölmeyen bir asal sayıyı rastgele tahmin etmeniz yeterlidir. Bunu etkili bir olasılıklı şekilde yapmak için yeterli sayıda sırası vardır.$O(\log B)$

x_n üzerindeki PIT'in derandom edilebilir olması oldukça şaşırtıcı olurdu . Ama benzerlik, daha önce, ilkellik testinin mahsur kaldığı zaman da oldu.$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Öte yandan, sadece makul bir sahte sahte sayı üretecini kullanabileceğinize ve böylece yeterince uzun test ederseniz, PIT'e tüm pratik amaçlar için karar verebileceğinize inanıyorum. Ben sadece boş olmayan bir şekilde can sıkıcı kalan sıfır ölçü kümelerine benzer, kalan (sonsuz küçük) şüpheden asla kurtulamayacağınıza inanıyorum.