Düzlemsel grafiklerin tiz genişliğini hesaplamanın karmaşıklığını belirlemeye hala açık mı?

Sabit için , tek bir giriş grafiği verilen doğrusal zamanda belirleyebilir olup onun, treewidth isimli . Her iki Ancak, ve girdi olarak verilir, sorun NP zordur. ( Kaynak ). $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

Bununla birlikte, giriş grafiği düzlemsel olduğunda , karmaşıklık hakkında çok daha az şey biliniyor gibi görünmektedir. Sorun görünüşe edildi açmak , 2010 yılında da ortaya çıktı bir iddia bu ankette 2007 yılında ve üzerinde şube bozulmakta Vikipedi sayfası . Tersine, önceki bir sürümde problemin NP referansı olmadığı (referansın kanıtı olmadan) iddia edildi. önce bahsedilen anketin , ancak bunun bir hata olduğunu varsayıyorum.

Bu, belirli bir sorun karmaşıklığını belirlemek için hala açık ve düzlemsel grafik belirlenmesi, treewidth sahip ? Eğer öyleyse, bu son bir makalede iddia edildi? Herhangi bir kısmi sonuç biliniyor mu? Eğer değilse, kim çözdü? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
kaynak

İlginç bir soru, anketi yeniden başlatmak için alkışlamak 2 kuruşumun çiplenmesi için, lineer zaman ispatının orijinal kaynağının Bodlaender olduğuna inanıyorum, ancak asimptotik karmaşıklık gösterimi tarafından gizlenen sabit faktörün muazzam olduğuna inanıyorum . Belki de sorunuza ilginç bir ayrılma / uzama, bu bağlamda düzlemsel kısıtlamanın daha pratik bir sabit faktöre izin verip vermeyeceğidir?

— Fasermaler

Bunun "ünlü ve eski bir problem" olduğunu düşünüyorum, bu yüzden bir kağıt bulamazsanız muhtemelen hala açık bir problemdir. Diğer "deliller": Dersten Anlatım Grafik Algoritmaları, Uygulamalar ve Uygulamalar (2015), Dersten Anlatım Grafikler ve Algoritmalar: İleri Konular (2014), Algoritma Ansiklopedisi (2008).

— Marzio De Biasi

@Sariel: Şube genişliğinin birbirinin sabiti içerisinde olması ve polinom süresinde düzlemsel şube genişliğinin hesaplanması gerçeği kullanılarak sabit bir faktör (3/2) içinde yaklaşık değer kazanılabilir. Ayrıca Leighton-Rao kullanarak tüm grafikler için log içinde yaklaşık olarak gösterilebilir; bkz: kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-reewidth

— David Eppstein

@Fasermaler, Bodlaender'ın algoritmasındaki ilk adım (ve FPT olan ancak lineer zaman olmayan önceki algoritmalar), optimum optimal ayrışmayı bulmak için dinamik programlama kullanabileceği yaklaşık bir ağaç ayrışımını hesaplamaktır. Yaklaşma ne kadar sıkı olursa, ikinci adım o kadar hızlı olur. Bu nedenle, düzlemeli tiz genişliği için daha sıkı yaklaşımların dal genişliği kullanılarak bulunabildiği gerçeği, parametreye daha iyi bağımlılığa yol açacak gibi görünmektedir (doğrusaldan polinom geri dönme pahasına). Ama bunu dikkatlice analiz eden kağıtları bilmiyorum.

— David Eppstein

Yaklaşma hızına yaklaşma problemi ile ilgili olarak. Seyrek / dengeli düğüm ayırıcıları bulmak için bir

yaklaşımı treewthth için bir

-aproximasyon verecektir. Böylece, genel grafiklerde

alacağız.

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

düzlemsel ve uygun küçük-kapalı ailelerdeARV / Feige-Lee-Hajiaghayi ve

. Genel grafikler için

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

burada

treewidth'dir.

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

— Chandra Chekuri 12:15

Bildiğim kadarıyla, NP'nin bütünlüğünü düzlemsel bir grafiğin tiz genişliğinin hesaplanması hala açık. Bildiğim en son referans , 2012'den Bodlaender tarafından Mike Fellows'un 65. yaş günü için festschrift'te ortaya çıkan “Treewidth ve Pathwidth'in Sabit Parametre İzlenebilirliği” adlı bir ankettir . Anket sonuçlarında sorun listelenmiştir.

— Bart Jansen
kaynak

Teşekkürler! (Diğer referansları önerdikleri için @MarzioDeBiasi'ye de teşekkürler.) Merak etmeden, sorunun ilk ne zaman ortaya çıktığını bilen birileri var mı?

— a3nm