Sayı alanı elekinin en kötü durum karmaşıklığı nedir?

Kompozit genel sayı alan eleği, tam çarpanlara ayırma için en iyi bilinen çarpanlara ayırma algoritmasıdır . Rastgele bir algoritmadır ve faktörü . $N\in\Bbb N$ $N$ $O\Big(e^{\sqrt{\frac{64}{9}}(\log N)^{\frac 13}(\log\log N)^{\frac 23}}\Big)$ $N$

Bu randomize algoritmada en kötü durum karmaşıklığı hakkında bilgi aradım. Ancak bilgileri bulamıyorum.

(1) Sayı alanı elekinin en kötü durum karmaşıklığı nedir?

(2) Ayrıca belirleyici bir alt üstel algoritma vermek için burada rastgelelik giderilebilir mi?

Yanıtlar:

Alan elek sayısı hiçbir zaman titizlikle analiz edilmemiştir. Alıntıladığınız karmaşıklık sadece sezgiseldir. Titizlikle analiz edilen tek üstel algoritma , ikinci dereceden eleğe çok benzeyen Dixon'un çarpanlara ayırma algoritmasıdır . Wikipedia'ya göre, Dixon'un algoritması zamanında çalışır . Dixon algoritması rastgele seçilmiştir. $e^{O(2\sqrt{2}\sqrt{\log n\log\log n})}$

Bilinen (sezgisel olarak) bilinen tüm üstel algoritmalar randomizasyon gerektirir. Tamsayılar bulmak için Dixon'ın algoritma ihtiyaçlarını öyle ki (küçük asal bir ürün haline çarpanlarına olabilir) pürüzsüz ve "rastgele" ve sayı alan elek benzer ancak daha karmaşık gereksinimleri vardır. Eliptik eğri yöntemi ihtiyaçları, eliptik eğri modülo bulmak için olan sipariş bazı faktör modulo düzgün. Her iki durumda da algoritmaları ayrıştırmak zor görünüyor. $x$ $x^2 \pmod{n}$ $n$ $n$

Tüm bu algoritmaların nominal olarak en kötü durum karmaşıklığı sonsuzdur: kuadratik elek ve sayı alanlı elek durumunda daima aynı üretiyor olabilirsiniz , eliptik eğri yönteminde her zaman aynı eliptik eğriyi üretiyor olabilirsiniz . Bunun etrafında birçok yol vardır, örneğin paralel olarak üstel bir zaman algoritması çalıştırmak. $x$

— Yuval Filmus
kaynak

Eğer çok ECM değindi beri: Biz bir subexp hesaplamak için algoritma randomize biliyorum İçinde zaman nerede ECM kullanılarak bilinmeyen ve randomize olduğunu. Eğer elde etmek kaç denemelerin bu algoritma kısıtlamasını fazla on bir tahmin var mı ve nerede ?

n! r

$n!r$

O (e x p (\sqrt{\log n}))

$O(exp(\sqrt{\log n}))$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

ne olduğu hakkında hiçbir fikrim yok , ama genel olarak konuşursak, ECM'de parametreler seçerken , eğrinin yeterince pürüzsüz olma olasılığı her eğriyi test etmek için gereken çalışma süresi arasında dengeleniyoruz . Genellikle denge noktası . Dolayısıyla beklenen deneme sayısı .

n! r

$n!r$

p

$p$

T

$T$

1 / p \approx T

$1/p \approx T$

O (\exp \sqrt{\log n})

$O(\exp\sqrt{\log n})$

— Yuval Filmus

n!

$n!$ faktör olan . Faktöriyel düz çizgi karmaşıklığını elde etmek açık bir sorundur. Subexp zamanında bilinmediği yerde R'nin nasıl hesaplanacağını biliyoruz . İki farklı ve biliyorsak , ise subexp zamanında .

n

$n$

n! r

$n!r$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(n! r, n! s) = n!

$(n!r,n!s)=n!$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

Bir süre önce hesapladığımı hatırlıyorum. Bir yakalama olduğu ve detayları hatırlamadığım için bir gelişme elde edebileceğimi sanmıyorum.

son paragraf garip görünüyor ve daha fazla netleştirilebilir. Toplam dağıtım alanını örneklemediği için RNG'nin "kırıldığı" bir senaryodan mı bahsediyorsunuz? ama paralellik orada yardımcı olmaz mıydı? çünkü paralel olarak aynı "kırık" RNG olurdu? yoksa paralel olarak farklı bir RNG çalışması mı? Aslında faktoring algoritmalarının paralel karmaşıklığı gerçekten karmaşık bir konudur, örneğin bazıları diğerlerinden daha iyi paralelleştirilebilir, big-O tam olarak uygulanamayabilir, vb.

— vzn 12:15

Geçtiğimiz birkaç ay içinde, sayı alan eleğinin bir versiyonu titizlikle analiz edildi: http://www.fields.utoronto.ca/talks/rigorous-analysis-randomized-number-field-sieve-factoring

Temel olarak en kötü çalışma süresi koşulsuz olarak ve GRH altında . Bu, "klasik" sayı alanlı elek için değil, karmaşıklık analizini kolaylaştırmak için daha fazla adımı rastgele değiştiren hafifçe değiştirilmiş bir sürümdür. $L_n(1/3, 2.77)$ $L_n(1/3, (64/9)^{1/3})$

İlgili makalenin hala incelenmekte olduğuna inanıyorum.

Güncelleme: Kağıt çıktı. Jonathan D. Lee ve Ramarathnam Venkatesan, "Rasgele sayı alanlı eleklerin titizlikle analizi," Sayılar Teorisi Dergisi 187 (2018), s. 92-159, doi: 10.1016 / j.jnt.2017.10.019

— Djao
kaynak

Daha fazla bilgi edinebileceğimiz, başlık, yazar ve nerede yayınlandığına dair daha eksiksiz bir referans verebilir misiniz?

— DW

Sonuç sadece yakın zamanda açıklandığından, cevabımda belirtildiği gibi şu anda incelenmekte olduğuna ve bu nedenle henüz yayınlanmadığına inanıyorum. Gelecekte yayın bilgileri mevcut olduğunda cevabımı güncelleyeceğim.

— djao

FWIW, arxiv.org'da görünmüyor. Ancak, yazar Ramarathnam Venkatesan'dır, bu da gelecekteki aramaların gerekli olması halinde yardımcı olabilir.

— Peter Taylor

Aslında iki yazarlı bir çalışma (JD Lee ve R. Venkatesan): cmi.ac.in/activities/…

— Sary