Minimum sayıda ekleme kullanarak matris vektör çarpma algoritması

10

Aşağıdaki sorunu düşünün:

matrisi verildiğinde, hesaplamak için çarpma algoritmasındaki ekleme sayısını optimize etmek istiyoruz . $M$ $v \mapsto Mv$

Matris çarpımının karmaşıklığıyla bağları nedeniyle bu problemi ilginç buluyorum (bu problem matris çarpımının sınırlı bir versiyonudur).

Bu sorun hakkında ne biliyor?

Bu problemi matris çarpım probleminin karmaşıklığıyla ilgili ilginç sonuçlar var mı?

Sorunun cevabı, sadece ekleme kapıları olan devreleri bulmayı içeriyor gibi görünüyor. Çıkarma kapılarına izin verirsek ne olur?

Bu sorun ve diğer sorunlar arasında indirim arıyorum.

Tarafından motive edilmiş

— vzn
kaynak

Eğer

bir olduğu

0-1 matris, ilave sayısı daha sonra, bilinen alt sınır en önemlisi Ne grubuna bağlıdır / biz üzerinden çalışır Yarıgrup. Yarıgrup

ve hatta

üzerinde çalışırsak , Nechiporuk'un bağı, bilinen yapılarla birlikte, yaklaşık

açık bir alt sınır verir . Bununla birlikte, eğer gruptaysak

M

$M$

n \times n

$n\times n$

(N, +)

$(N,+)$

({0, 1}, \lor)

$(\{0,1\},\lor)$

n^{2 - o (1)}

$n^{2-o(1)}$

(G F (2), +)

$(GF(2),+)$ , o zaman durum oldukça iç karartıcıdır: bilinen en güçlü alt sınırlar sadece

biçimindedir . Daha fazlasını burada bulabilirsiniz .

ω (n)

$\omega(n)$

— Stasys

9

Esasen bu, Valiant'ı karmaşıklığa matris katılığı getirmeye motive eden sorundur (tarihi anladığım kadarıyla).

Doğrusal devre, sadece kapıları iki girişli doğrusal kombinasyon kapıları olan bir cebirsel devredir. Her doğrusal dönüşüm (matris) kuadratik boyutta doğrusal bir devre ile hesaplanabilir ve soru ne zaman daha iyisini yapabilir. Rastgele bir matris için kişinin önemli ölçüde daha iyi yapamayacağı bilinmektedir.

Fourier dönüşüm matrisi, düşük dereceli bir matris veya seyrek bir matris gibi bazı matrisler önemli ölçüde daha iyi yapılabilir.

Yeterince sert bir matris, aynı anda doğrusal boyut ve kütük derinliği (Valiant) olan doğrusal devreler tarafından hesaplanamaz, ancak bugüne kadar doğrusal devrelerin boyutunda süper doğrusal bir alt bağın olduğu hiçbir açık matris bilinmemektedir.

Belirli bir matris için en küçük doğrusal devrenin büyüklüğünü hesaplamanın zor olduğunu söyleyen sonuçları gördüğümü hatırlamıyorum, ancak NP-zor olsaydı şaşırmam.

— Joshua Grochow
kaynak

3

NP zor, bkz. Cstheory.stackexchange.com/a/32272/225

— Ryan Williams

7

$M$

$\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\Omega(n^{4/3})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$ $M$ $n\times n$ $d$

Bu sınırların hepsi aslında mümkün olan en iyi sınırlardır. Bölüm 6.3'e bakınız. içinde CHAZELLE kitabı .

— Sasho Nikolov
kaynak