Yarı polinom zamanında doğal bir problem var mı, polinom zamanında değil mi?

László Babai geçtiğimiz günlerde Grafik İzomorfizmi probleminin kuasipolinom zamanda olduğunu kanıtladı . Ayrıca Chicago Üniversitesi'ndeki konuşmasına bakın , Jeremy Kun GLL post 1 , GLL post 2 , GLL post 3 tarafından yapılan görüşmelerden not alın .

Ladner teoremine göre, eğer , boş değilse, yani ne ne de problemleri içerir . Bununla birlikte, Ladner tarafından inşa edilen dil yapaydır ve doğal bir sorun değildir. altında bile şartlı olarak doğal bir problem olduğu bilinmemektedir . Ancak Faktoring tamsayıları ve GI gibi bazı sorunların için iyi aday olduğuna inanılmaktadır .$P \neq NP$$NPI$$NP$$P$$NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$

Babai'nin sonucuyla, GI için polinom zaman algoritması olabileceğini düşünebiliriz. Birçok uzman olduğuna inanmaktadır .$NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$

Yarı-polinom zaman algoritmalarını bildiğimiz bazı problemler vardır, ancak polinom zaman algoritması bilinmemektedir. Bu tür problemler yaklaşık algoritmalarda ortaya çıkar; ünlü bir örnek, $O(\log^3 n)$ ( $n$ , köşe sayısıdır ) bir oran oranına ulaşan bir yarı-polinom zaman yaklaştırma algoritmasının olduğu yönlendirilmiş Steiner ağacı problemidir . Bununla birlikte, böyle bir polinom zaman algoritmasının varlığını göstermek açık bir sorundur.

Benim sorum:

$QP$ ancak $P$ olmayan herhangi bir doğal sorun biliyor muyuz ?

Aslında, çoğunlukla üstel zaman hipotezine dayanan, hesaplama problemleri için yarı-polinom çalışma süresinin alt sınırının kanıtlanması üzerine son zamanlarda birçok çalışma yapılmıştır. İşte oldukça doğal olduğunu düşündüğüm sorunların bazı sonuçları (aşağıdaki tüm sonuçlar ETH'ye bağlıdır):

• Aaronson, Impagliazzo ve Moshkovitz [1] yoğun kısıtlama memnuniyeti problemleri (CSP) için yarı-polinom zaman alt sınırını göstermektedir. CSP'nin bu makalede tanımlanma biçiminin, alanın küçük olduğu durumda bir PTAS'a sahip olduğu bilindiği için alanın polinom olarak büyük olmasına izin verdiğini unutmayın.

• Braverman Ko ve Weinstein, [2] bir yarı-polinom zaman bulmak için alt sınır ispat -en iyi -approximate Nash dengesi Lipton ve ark. Algoritması [3] eşleşir.$\epsilon$$\epsilon$

• Braverman Ko, Rubinstein ve Weinstein, [4] bir yarı-polinom zaman yoğun yaklaştırmak için alt sınır gösteren yani içeren bir grafiktir verilen (mükemmel bütünlüğü ile -subgraph , -clique boyutu bir alt grafiğini bulur olduğu bazı küçük sabitler için yoğun ). Yine, problem için yarı-polinom zaman algoritması vardır (Feige ve Seltser [5]).$k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

Referanslar

1. Birden fazla Merline sahip AM. Hesaplamalı Karmaşıklıkta (CCC), 2014 IEEE 29. Konferans, sayfa 44-55, Haziran 2014.

2. Mark Braverman, Young Kun Ko ve Omri Weinstein. -zamanında en iyi nash dengesine yaklaşmak, üstel zaman hipotezini kırar. Yirmi Altıncı Yıllık ACM-SIAM Kesikli Algoritmalar Sempozyumu, SODA '15, sayfa 970-982. SIAM, 2015.$n^{o(log n)}$

3. Richard J. Lipton, Evangelos Markakis ve Aranyak Mehta. Basit stratejiler kullanarak büyük oyunlar oynamak. 4. ACM Elektronik Ticaret Konferansı Bildirileri, EC '03, sayfa 36–41, New York, NY, ABD, 2003. ACM.

4. Mark Braverman, Young Kun-Ko, Aviad Rubinstein ve Omri Weinstein. Densest- Subgraph için ETH sertliği mükemmel bir eksiksizliğe sahiptir. Hesaplamalı Karmaşıklığa İlişkin Elektronik Kolokyumu (ECCC), 22:74, 2015.$k$

5. U. Feige ve M. Seltser. En yoğun -subgraph problemlerinde. Teknik rapor, 1997.$k$

Megiddo ve Vishkin turnuvalarda Asgari hakim seti olduğunu kanıtladı . SAT'ın alt-üstel zaman algoritmasına sahip olduğu turnuvaya hakim olan setin P-zamanı algoritması olduğunu gösterdiler. Bu nedenle, ETH yanlış olmadığı sürece set problemine hakim turnuva olamaz .$QP$$P$

Üstel zaman hipotez eşzamanlı olarak polinom zamanlı algoritmalar sahip olamayacağını turnuva hakim setini ima ve bu nota çok ilginç olamaz -tamamlamak$NP$ . Başka bir deyişle, ETH turnuvaya hakim olan turnuvanın orta seviye olduğunu ima eder .$NP$

Woeginger , yarı polinom zamanında çözülebilen bir aday problemi önerir ve muhtemelen polinom zaman algoritmaları yoktur: tamsayıları verildiğinde , kadar ekleyen seçebilir misiniz ?$n$$\log n$$0$

VC boyutunun hesaplanmasının polinom zamanında olması muhtemel görünmemektedir, ancak kuasipolinom zaman algoritmasına sahiptir.

Ayrıca, rastgele bir grafikte boyutunda dikilmiş bir klik saptamak zor görünüyor , ancak kuasipolinom zamanda bulunabilir; ancak bu vaat sorununun doğası, bahsedilenlerden biraz farklıdır.$O(\log n)$

Üstel zaman hipotezi doğruysa (hatta daha zayıf sürümler), polinom zamanında değişkenlerin çokgenli sayısı olan örnekler için 3SAT çözülemez. Tabii ki, yarı-polinom zamanı bu tür örnekleri kolayca çözebilir.

$T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

Parity oyunlarının Çözümü'nün son zamanlarda QP'de olduğu gösterilmiştir: https://www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

$\mu$

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$

Bununla birlikte, yukarıdaki son makale QP'ye önemli bir sıçrama yaptı. Bu oyunların P'de olup olmadığı hala bilinmiyor.

Gelen Klasik algoritmalar, korelasyon çürüme ve kuantum çok cisim sistemlerinin bölüm fonksiyonlarının karmaşık sıfır Aram Harrow, Said Mehraban ve Mehdi Soleimanifar tarafından

termal faz geçiş noktasının üzerindeki sıcaklıklarda kuantum çok gövdeli sistemlerin bölme işlevini tahmin eden yarı-polinom zaman klasik algoritması

sunuldu.

Burada "polinom zamanında değil" kısmı hakkında çok fazla şey söylenemez. Hatta daha önceki çalışmaların geçmişi göz önüne alındığında, daha sonra bir polinom zaman algoritmasının bulunması muhtemel olabilir, aşağıya bakınız.

"Bölümleme işlevini tahmin etme" yaklaşım algoritmaları ile nasıl ilişkilidir? Önceki çalışma (s.11):

Bu çalışmanın temeli olan bölme işlevini tahmin etmek için yakın zamanda kavramsal olarak farklı bir yaklaşım vardır. Bu yaklaşım, bölme işlevini yüksek boyutlu bir polinom olarak görür ve çözümü hesaplı olarak kolay bir noktada önemsiz olmayan bir parametre rejimine genişletmek için kesilmiş Taylor genişlemesini kullanır. Girişinden bu yana [Bar16a], bu yöntem sınırlı grafiklerde ferromanyetik ve antiferromanyetik Ising modelleri [LSS19b, PR18] gibi çeşitli ilginç problemler için deterministik algoritmalar elde etmek için kullanılmıştır.

içerir

[LSS19b] Jingcheng Liu, Alistair Sinclair ve Piyush Srivastava. Ising bölümleme fonksiyonu: sıfırlar ve deterministik yaklaşım. İstatistik Fizik Dergisi, 174 (2): 287–315, 2019. arXiv: 1704.06493

ilgili çalışmayla ilgili bu bölümde aşağıdakilerden bahseder:

Paralel bir çalışma çizgisinde Barvinok, bölme fonksiyonunun logaritmasının Taylor yaklaşımını incelemeye başlamış ve bu da çeşitli sayım problemleri için kuasipolinom zaman yaklaşımı algoritmalarına yol açmıştır [6, 7, 9, 10]. Daha yakın zamanlarda, Patel ve Regts [41] indüklenmiş alt çizgi toplamları olarak yazılabilen birkaç model için, aslında bu yaklaşımdan bir FPTAS elde edebilirler.

[41] V. Patel ve G. Regts. Bölme fonksiyonları ve grafik polinomları için deterministik polinom-zaman yaklaşım algoritmaları. SIAM J. Comput., 46 (6): 1893–1919, Aralık 2017. arXiv: 1607.01167

Sonuç olarak, "bölüm fonksiyonunun hesaplanması" yaklaşık algoritmalar ile yakından ilişkilidir ve çeşitli sayım problemleri için kuasipolinom zaman yaklaşımı algoritmaları olmuştur ve bu FPTAS'ların bazıları için elde edilmiştir. Genel olarak, bölme işleviyle ilgili bu sınıf problemlerinin her ikisi de kuasipolinom zaman yaklaşımı algoritmaları üretiyor gibi görünmektedir, ancak genellikle daha sonraki gelişmeler polinom zamanına ulaşmaktadır.