“Neredeyse kolay” NP-komple problemler

Bize dil diyelim $L$ olan P doğru karar olduğunu bir polinom zaman algoritması varsa -density-yakın $L$ neredeyse tüm girdilere.

$A\in$ $L\Delta A$

lim_{n \to \infty} \frac{| (L Δ A) \cap {0, 1}^{n} |}{2^{n}} = 0.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$

A

$A$

L

$L$

L

$L$

O Not seyrek olmak zorunda değildir. Örneğin, bit dizesi varsa, olduğundan, hala kayboluyor (üstel bir oranda). . $L\Delta A$ $2^{n/2}$ $n$ $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$

Yukarıdaki tanıma göre , P -yoğunluğuna yakın olan NP -tamamlanmış problemleri (yapay olarak) oluşturmak zor değildir . Örneğin, herhangi bir NP tamamlanmış dil olmasına izin verin ve tanımlayın . Daha sonra NP tamlığını korur , ancak en fazla -bit evet örneğine sahiptir. Bu nedenle, her girdiye "hayır" cevabı veren önemsiz algoritma , hemen hemen tüm girdilerde doğru karar verecektir ; sadece bit girişlerinin bir kısmında hata yapar . $L$ $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ $L^2$ $2^{n/2}$ $n$ $L^2$ $\leq 1-2^{-n/2}$ $n$

Öte yandan, tüm NP tamamlanmış problemlerin P -yoğunluğuna yakın olması çok şaşırtıcı olacaktır . Bu, bir anlamda NP'nin tamamladığı tüm sorunların neredeyse kolay olduğu anlamına gelir. Bu şu soruyu motive eder :

Varsayarsak P NP bazıları, hangi doğal NP olan -tamamlamak sorunlar değil P -density-yakın? $\neq$

— Andras Farago
kaynak

Yana Heuristica dışladı değil, P ≠ NP problemi neredeyse P. olmadığını ima etmek bilindiği bile değil-ille-doğal sorun yok

Yazışma sonrası sorunların iyi bir aday sorun olduğuna inanıyorum. Düzgün rasgele örnekler için bile zordur ve bu nedenle ortalama durumda zordur.

— Mohammad Al-Turkistany

Bilginize: İsimlendirme seçiminiz, doğal olsa da, mevcut bazı isimlendirme ile çelişmektedir: Neredeyse P sınıfı ,

'nın ölçüsü 1 olan L dillerinden oluşur. Seyrek tanımınızın sürümü zaten kullanılmış ve diğer birkaç fikirle bağlantısı var, bkz. P-close . P-close'un defnesi göz önüne alındığında, belki de konseptiniz için iyi bir isim P-yoğunluk-yakın veya P-yakın-yeterli :).

{A : L \in P^{A}}

$\{A : L \in P^A\}$

— Joshua Grochow

Öte yandan, " Grafik Renklendirme " karar problemi muhtemelen böyle bir problem için adaydır.

$\;$

Bunun doğru tanım olduğuna ikna olmadım.

yoğunluğu kaybolursa , ne kadar zor olursa olsun, önemsiz herhangi bir

dili ile "neredeyse kolaydır" . Yine de , sadece kodlama nedeniyle yok olmayan yoğunlukta

alfabesi üzerinde doğal sert diller göstermek zordur . Kavşak tüm dizelerden ziyade

boyutunda geçerli girdilerle olmamalı mı (bu bir vaat problemidir)? Aksi takdirde, bu esas olarak şu soruyu cevaplamayı gerektirir: NP-sert bir dilin yok olmayan yoğunluğa sahip bir Boolean kodlaması var mı?

L

$L$

A

$A$

{0, 1}

$\{0,1\}$

n

$n$

— András Salamon

Karmaşıklık teorisinde genel olarak kabul edilmiş bir hipotez olup olmadığına baktım, bu da neredeyse tüm girdilerde (soruda tanımlandığı gibi) polinom zamanında kabul edilemeyen NP- tamamlayıcı bir dil olması gerektiğini ima ediyor .

İlginç bir şekilde, en "standart" hipotezler bunu ima etmiyor gibi görünmektedir. Yani, P NP , P BPP , NP coNP , E NE , EXP NEXP , NP PSPACE , NP EXP , NP P / poly, PH çökmez, vb. $\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\not\subseteq$

Öte yandan, aranan NP- tamamlama probleminin varlığını ima eden , doğal olmasa da , biraz daha az standart bir hipotez buldum . Kaynak sınırlı ölçüm teorisinde temel hipotez NP'nin NP ile gösterilen ölçüm sıfırına sahip olmadığıdır . Gayri resmi olarak, bu, E içindeki NP dillerinin ihmal edilebilir bir alt küme oluşturmadığı anlamına gelir . Ayrıntılar için burada bir ankete bakın . Bu teoride, diğer şeylerin yanı sıra, NP $p$ $\mu_p($ $)\neq 0$ $\mu_p($ ,NP'debirP-bi-bağışıklık dilininvarlığını ima eder. Bir dil olanPne olursa-bi-immün ne de tamamlayıcısı sonsuz alt kümesine sahiptirP. Böyle bir dil ihtiyacımızı güçlü bir şekilde karşılar. $)\neq 0$ $L$ $L$

Bununla birlikte, doğal bir sorunu temsil eden bir örneğin mevcut olup olmadığı hala belirsizliğini korumaktadır .

— Andras Farago
kaynak

Bi-bağışıklık durumunuzdan çok daha güçlüdür ve yapısal karmaşıklık teorisinde "neredeyse hepsi" nin, yani "sonlu pek çok kişi hariç" için daha yaygın kullanımı ile ilgilidir ...

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Kabul ediyorum, ancak bir anlamda P-bi bağışıklığının çok güçlü bir çekilmezlik anlamına geldiği anlaşılıyor . Doğal NP-tam problemleri arasında görünmüyor. Görünüşe göre sadece "hemen hemen her yerde" zorlanamayan NP-tam dilinin varlığı için koşullar sağlayan hiçbir sonuç olmadığı şaşırtıcı. "Zayıf hemen hemen her yerde" derken, "sonlu çok olanların hepsi hariç" koşulunun yerine "yok olan pek çok kişi" yerine geçilir. Bu, pratikte gerçekten karşılaşılanlarla daha iyi ilişkili olabilir.

— Andras Farago

NP'nin p ile ölçülebilir olduğu biliniyor mu?

@RickyDemer Bildiğim kadarıyla NP'nin p-ölçülebilir olup olmadığı bilinmiyor.

— Andras Farago