Bağlam: Tüm FPT NP tam diller sabit parametreli-izomorfiktir

Berman – Hartmanis varsayımı: NP-tam tüm diller, birbirleriyle polinom zaman izomorfizmleri ile ilişkilendirilebilecekleri anlamlarına benzerdir [1].

"Polinom zamanının" daha ayrıntılı bir versiyonuyla ilgileniyorum, yani parametreleştirilmiş indirimler kullanırsak.

Parametreli bir problem alt kümesidir $Σ^∗ × Z \geq 0$, burada $Σ$ sonlu bir alfabe ve $Z\geq 0$ negatif olmayan sayılar kümesidir. Parametreli bir sorunun bir örneği bu nedenle bir çifttir $(I, k)$ ; burada $k$ parametredir.

Parametreli sorun $π_1$ parametreli bir problemi indirgenebilir parametreli sabitlenir $π_2$ fonksiyonlar mevcut ise $f$ , $g$ : $Z≥0 → Z≥0$ , $Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$ ve polinom $p(·)$ gibi herhangi bir örneğin, bu $(I, k)$ arasında $π_1$ , $(Φ(I, k), g(k))$ bir örneği olan $π_2$ zaman içinde hesaplanabilir $f(k) · p(|I|)$ ve $(I, k) ∈ π_1$ yalnızca ve yalnızca $(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$ . İki parametreli problem, sabit parametreler birbirlerine indirgenebilirse, sabit parametre eşdeğeridir.

Bazı NP-tamamlama problemleri FPT'dir, örneğin tepe kapağı probleminin karar versiyonu NP-Tamamlanmıştır, $O(1.2738^k + kn)$ algoritmasına sahiptir [2]. NP-Complete olan bir FPT probleminde daha iyi sabit parametre indirimleri bulmak daha iyi bir algoritmaya yol açabilir, örneğin, Çok-Yollu Kesim sorununun bir "garanti üstü versiyonuna" indirgeme O ^ zamanında bir algoritmaya yol açabilir * (4 ^ k)$O^*(4^k)$ , orijinal $O^*(15^k)$ algoritmasından [4] daha iyi olan AGVC (Garanti Tepe Noktası Kapağının Üstü) sorunu [3 ] için.

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

Bu varsayım doğru mu?

[1] Berman, L .; Hartmanis, J. (1977), "NP ve diğer bütün kümelerin izomorfizmaları ve yoğunluğu üzerine", SIAM Bilgisayar Bilimi 6 (2): 305-322.

[2] J. Chen, IA Kanj ve G. Xia, Tepe örtüsü için geliştirilmiş üst sınırlar, Theor.Comput. Sci., 411 (2010), s. 3736-3756.

[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk ve JO Wojtaszczyk, IPEC, 2011'de alt sınırların üzerinde parametreli çok yönlü kesimde.

[4] M. Mahajan ve V. Raman, Garantili değerlerin üzerinde parametreleştirme: Maxsat ve maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), sayfa 335-354.

Serge Gaspers, varsayımınızın neden önemsiz olduğunu zaten belirtti.
Bununla birlikte, aslında sıradan anlamda bir azalma ile sıralı önemsiz olmayan FPT problemlerinin her çifti için geçerli olduğundan, şimdi fark ettiğim polinom-zaman sabit parametreli izomorfizmler elde edilebilir .

Let için FPT algoritması derecesinden daha büyük olduğunu bir tam sayı , ve izin ve evet ve sırasıyla bir örneği olabilir . Aşağıdakiler olacak polinom zamanlı gelen sabit bir parametre indirgeme için :$c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

En adımı için üzerinde FPT algoritmasını deneyin . Bu bir cevap verirse, o cevapta belirtildiği gibi veya çıktılayın. Aksi takdirde, çıkış sıradan bir polinom zamanlı bir azalma uygulanması sonucu için . Doğruluk ve polinom çalışma süresi açıktır. Yana için FPT algoritmasının derecesinden daha büyük olduğunda , her sabit, bu durum , sonlu sayıda giriş uzunlukları vardır olan FPT algoritmanın en zamanı en az bir$\pi_1$$n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$$c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$ . Böylece, her sabit , yukarıdaki indirgeme sadece son derece çok sayıda çıktıya sahiptir. Bu nedenle sabit parametre koşulunuzu karşılar.$\:$$k$$\:$