Düzlemsel grafikler için ağaç ayrışımı

İlk önce matematik üzerine sordu .

1. Düzlemsel gömülü bir düzlemsel grafiğim olduğunu varsayalım, ağaç ayrışmasını nasıl bulabilirim?
2. Bir ağacın optimal ağaç ayrışması nedir $d$-tarafından-$d$kare ızgara? "Optimal" in nasıl tanımlanacağından tam olarak emin değilim, ancak bir büyük torba ile ayrışma ve birçok büyük torba ile ayrışma arasında ayrım yapmalıdır.

Gerçekten istediğiniz şey iyi bir eliminasyon emriyse, genel iç içe diseksiyon arıyor olabilirsiniz . Bu, vermek için bir düzlemsel grafiğin iyi ayırıcılarından yararlanan stratejidir.$O(n^{\omega/2})$ düzlemsel grafiklerden gelen matrisler için Gauss eleme, determinant vb. algoritmaları.

İlk soru için, düzlemsel grafikler için bir ağaç ayrışması bulmanın polinom zamanında yapıp yapamayacağı açıktır . En iyi yaklaşım algoritması , düzlemsel grafiğin dal genişliğini hesaplayan Seymour ve Thomas tarafından RatCatcher algoritması olabilir , bu nedenle dal genişliği ve trewidth arasındaki ilişkiye göre 1,5 yaklaşık bir orana sahiptir.

İkincisi için, trewidth hakkında aşağıdaki teoremimiz var $k \times k$ ızgaralar:

Teorem. bir$k \times k$ ızgara üçlü genişliğine sahiptir $k$.

Ve çanta boyutu ile alınabilir $k+1$, toplamla $k(k-1)$çantalar. İstediğiniz bu olup olmadığından emin değilim, "optimal" tanımını değiştirirseniz bunu yapmaktan çekinmeyin.

En uygun ağaç ayrışmasını istemiyorsanız, ayırıcıları özyinelemeli hesaplayarak bir ağaç ayrışımı oluşturabilirsiniz.