PCP Teoremi - Alfabe Azaltma Adımı

Aşağıdakiler aptalca görünebilir (ve muhtemelen zayıf anlayışımı yansıtıyor - lütfen bana katlanın)

PCP teoreminde bir sorgu vardı. İlk üç adımdan sonra biliyoruz. Derece İndirgeme, Expanderization ve Boşluk Amplifikasyon, bir kısıtlama grafik bilgisi geliştirilmiş boşluk ve benzeri (büyük harf boyutu ile Σ d t ). Alfabe küçültme adımının ele aldığı bu sorundur.$G$$\Sigma^{d^t}$

Sorum Venkat Guruswami en notlarda göze özetlendiği gibi olmasıdır Kompozisyon giriş , yüksek seviyeli bir fikir kısıt bildirmektir geliyor bana bir kenar üzerinde e boole değişkenler üzerinde bir Boole sınırlama olarak. Tek başına bu şey başarır ve biz de PCP azalma, uygulamak gerekir P e bu kenarda. Bu, PCP'nin özyinelemeli bir çağrışımına "benziyor" ve burada biraz endişelenmeye başladım. Bu özyinelemeli çağırma, alfabe boyutunu tekrar havaya uçuracak gibi görünüyor.$c_e$$e$$P_e$

Yazarlar, bu özyinelemenin bir "temel durum" - yani "iç" PCP azaltımı sadece sabit büyüklükteki kısıtlamalar için geçerli olduğunu gözlemleyerek bazı açıklamalar yapmıştır.

(Bu derken iç özyineleme biz kısıtlamaları bakıyoruz yalnızca çağrılan anlıyoruz ikili sınırlamadır tek kenarına ama hala henüz nasılsa biz hala alfabe boyutu patlatmak diye korku üzerine gelmedik küçültmek yerine). Bana göre, hala Boşluğu Yükseltme adımının yinelemeli bir tekrarı, temel durumu biraz farklı ele almak için önlemler eklemediğimiz sürece, sadece alfabe boyutunu havaya uçurarak konuları daha da kötüleştirecek gibi görünüyor.$c_e$

Umarım benim sorgu (olduğu gibi aptalca) muhtemelen açıktır. Lütfen hangi önemli kısmı kaçırdığımı (veya yanlış anladığımı) bildirin.

Dinur'un PCP Teoremine dair kanıtını soruyorsun. Alfabe küçültme adımı bir PCP kullanır, ancak PCP'nin oluşturduğunuz parametreden çok farklı parametreleri vardır ve bunu oluşturmak için özyineleme kullanmanız gerekmez. Özellikle, Dinur'un kanıtında, alfabe küçültme için bu iç PCP sabit boyutlu girdilere uygulandığından, devasa (üstel veya ondan daha fazla) patlamanın olması umrumda değildir, bu da yeterince iyi bir PCP'nin doğrudan yapımı.

Bu aşamayı içeren kanıtın tamamı birkaç yerde açıklanmıştır ( bu sorunun cevabına bakın ) ve böylece daha iyi sevdiğiniz farklı bir açıklama bulabilirsiniz. Özellikle, Sanjeev Arora ile olan karmaşıklık ders kitabımda bu Bölüm 11 ve 22'de ele alınmıştır, orada alfabe azaltma adımına ulaşmak için iki alternatif yol sunuyoruz. Biri ana metinde Hadamard tabanlı PCP kullanıyor. Ama belki de en basit kendi kendine yeten çeşidi Alıştırma 22.5'te yapılan inşaattır. Ayrıca Bölüm 22.2.1'de ispatın alfabe boyutuna (ve sağlamlık hatası, boyut ve sorgu sayısı gibi diğer parametrelere) tam olarak ne yaptığını gösteren ve endişenizi giderebilecek bir tablonuz var.