Bir lineer denklem sistemine en kapsamlı çözümü bulma

13

Lineer denklemler sistemine en açık çözümü bulmak ne kadar zor?

Daha resmi olarak, aşağıdaki karar sorununu göz önünde bulundurun:

Örnek: Tamsayı katsayıları ve bir sayı ile doğrusal denklemler sistemi . $c$

Soru: Sisteme en az değişkeninin sıfıra atanmış bir çözümü var mı ? $c$

Ayrıca bağımlılığın ne olduğunu belirlemeye çalışıyorum . Yani, sorun parametresiyle FPT'dir . $c$ $c$

Herhangi bir fikir veya referans gerçekten takdir edilmektedir.

— Michael Wehar
kaynak

12

Genellikle NP-zor olan bazı halkaları üzerinden , örneğin durumunda , tatmin edici lineer denklemlerin sayısını maksimuma çıkarma problemini düşünün $\text{MAX-LIN}(R)$ $R$ $R=\mathbb{Z}$

Bu sorunun bir örneğini almak, burada a, matris. Let . Yeni bir lineer sistem Construct , a, matris, şimdi olduğu boyutlu vektör ve bir boyutlu vektördür: $Ax=b$ $A$ $n\times m$ $k=m+1$ $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ $\tilde{A}$ $kn \times (kn+m)$ $\tilde{x}$ $(kn+m)$ $\tilde{b}$ $kn$

\tilde{A} = [\begin{matrix} A & I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ ⋱ & ⋱ \\ I_{n} & - I_{n} \end{matrix}], \tilde{b} = [\begin{matrix} b \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} A & I_n & & & \\ & I_n & -I_n & & \\ & & I_n & -I_n & \\ & & & \ddots &\ddots \\ & & & & I_n & -I_n \\ \end{bmatrix}, \tilde{b} = \begin{bmatrix} b \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$ ; burada , kimlik matrisidir .

I_{n}

$I_n$

n \times n

$n \times n$

Bu sistemin vektöründen her zaman memnun olduğunu unutmayın . Aslında, nin ilk girişleri keyfi olabilir ve bu önek ile bazı çözüm vektörleri vardır. $\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$ $m$ $\tilde{x}$

Şimdi , 'nin en azından sıfırları olan seyrek bir çözümü varsa , denklemlerinin fraksiyonunun tatmin edilebilir olduğunu iddia ediyorum . Her tatmin satır Bunun nedeni, verimleri zaman potansiyel sıfır genişletilir $\delta$ $Ax=b$ $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta nk$ $Ax=b$ $k$ $x$ $\tilde{x}$

Biz sparsest çözeltisi kıtlık bulmak Böylece, , daha da büyütülmüş olarak ile kıtlık bölünmesiyle . $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta$ $k$

Bu nedenle, sorunun NP-zor olduğuna inanıyorum.

— Joe Bebel
kaynak

1

Güzel! Paylaşım için teşekkürler. Peki sence bağımlılık nasıldır? Eğer biz daha kısa bir sürede çözebilir misin nerede girdi boyutu nedir?

p o l y (n) \cdot (\binom{n}{c})

$poly(n) \cdot {n \choose c}$

n

$n$

— Michael Wehar

1

Tabii: Biz varsayarsak hangi verilen konum elemanları o zaman basitçe gelenler unsurları kaldırabilir, sıfır düşük boyutlu almak için ve ayrıca karşılık gelen sütunları kaldırmak almak için . Daha sonra, azaltılmış sisteminin mümkün olup olmadığına karar vermek için gauss eliminasyonu kullanın ; eğer öyleyse, seyrek bir çözüm buldunuz. Ardından, tüm olası .

c

$c$

x

$x$

x

$x$

x^{'}

$x'$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} x^{'} = b

$A' x' = b$

(\binom{n}{c})

$\binom{n}{c}$

A^{'} x^{'}

$A'x'$

— Joe Bebel

1

@MichaelWehar Bu sorunun FPT olup olmadığını bilmiyorum

— Joe Bebel

6

Sorun NP-tamamlandı, aşağıdaki sorundan azaltılarak: Tam sayı girişleri olan bir matrisi ve girişleri olan bir tamsayı vektörü verildiğinde , ile bir 0-1 vektör var mı? $m\times n$ $A$ $b$ $n$ $x$ $Ax=b$

vektörünün her koordinatı için , $x_i$ $x$

yeni denklemi tanıtmak ile ve $100(n+m)$ $x_i+y_{i,k}=0$ $k=1,\ldots,100(n+m)$
yeni denklemi tanıtmak , . $100(n+m)$ $x_i+z_{i,k}=1$ $k=1,\ldots,100(n+m)$

Ayrıca eski eşitlik sistemi . $Ax=b$

Sadece yeni sistemde en az değişkeninin sıfır olduğu bir çözüm varsa, orijinal sistemine 0-1 çözümü vardır. $Ax=b$ $100(n+m)n$

— Gamow
kaynak

4

Buna Sparsest Solution Vector problemi denir ve aslında NP zordur .

— RB
kaynak

4

Bu sorun çeşitli ayarlarda zordur . Bu sorunun diğer cevaplarında belirtildiği gibi, problem tamsayılar üzerinde NP-tamdır.

Sinyal işlemede, matris ve vektörlerin rasyonel girişleri vardır ve bu soruna bazen seyrek rekonstrüksiyon problemi denir . Bu ayarda, sorun NP-tamamlanmıştır (bakınız Teorem 1).

Kodlama teorisinde, girdiler sonlu bir alandan gelir ve bu soruna bazen maksimum olabilirlik kod çözme sorunu denir . Bu ayarda, problem NP-tam ve olmayan altüssel sürede üstel zaman hipotezini varsayarak. Ayrıca, arXiv üzerine bir makalenin önceki bir versiyonuna göre ( makalenin 1. versiyonundaki Lemma C.2'ye bakınız), problem W [1] eksiktir.

— argentpepper
kaynak

W [1] tamlığına ilişkin referansınızın "Lemma C.2" olduğu görülmemektedir.

@RickyDemer Bağladığı makalenin 1. sürümünde bir Lemma C.2 var. Ancak, sürüm 2 farklı bir başlık var gibi görünüyor ve çok yakın zamanda değiştirildi.

— Michael Wehar

Bu lemma OP'den farklı bir parametre kullanır.

Oh, güncellenmiş bir versiyon olduğunu fark etmedim, bir göz atacağım ve cevabımı buna göre güncelleyeceğim.

— argentpepper

Önceki yorumumda da belirttiğim gibi, "lemma OP'den farklı bir parametreleştirme kullanıyor", bu nedenle sonucun doğru olduğunu varsaysak bile (sürüm 2'den kaldırılmasına rağmen), OP'nin parametrelenmiş karmaşıklık hakkındaki sorusu hala açık olacaktır.