CIC'yi aksiyomlarla genişletmenin olumsuz sonuçları nelerdir?

CIC'ye aksiyom eklemenin, tanımların ve teoremlerin hesaplamalı içeriğinde olumsuz etkileri olabileceği doğru mu? Ben eğer teorinin normal davranış içinde, herhangi kapalı bir terim örneğin onun kanonik Normal formuna azaltacaktır, anlıyoruz doğrudur, o zaman n formun bir terim azaltmak gerekir ( s u c c . . . ( Ler u c c ( 0 ) ) ) . Ancak bir aksiyom varsayılırken - fonksiyon uzatma aksiyomu diyelim - sisteme sadece yeni bir sabit ekliyoruz$n : \mathbb{N}$$n$$(succ ... (succ (0)))$funext

bu sadece "sihirli bir şekilde" herhangi bir Π x kanıtından kanıtı üretir : A f ( x ) = g ( x ) , hiçbir hesaplama anlamı olmaksızın ( onlardan herhangi bir kod çıkaramayacağımız anlamında? )$f = g$$\Pi_{x : A} f (x) = g (x)$

Peki bu neden "kötü"?

İçin funextbu okumak, coq girişi ve bu mathoverflow soruya o da gevşek canonicity veya Karar verilebilen kontrol sistemi neden olacağını. Coq girişi iyi bir örnek sunuyor gibi görünüyor, ama yine de bununla ilgili daha fazla referans istiyorum - ve bir şekilde herhangi bir şey bulamıyorum.

Ekstra aksiyom eklemek, CIC'nin daha kötü bir davranışa neden olmasına nasıl neden olabilir? Herhangi bir pratik örnek harika olurdu. (Örneğin, Univalence Axiom?) Bu sorudan korkuyorum çok yumuşak, ama eğer birisi bu konulara biraz ışık tutabilir veya bana bazı referanslar verebilirse harika olurdu!

PS: Coq girişi, "Thierry Coquand'ın daha önce aileler üzerindeki örüntü eşleşmesinin 90'lı yılların ortalarındaki uzatma ile tutarsız olduğunu gözlemlediğinden bahsediyor. Hangi kağıt veya başka bir şey bilen var mı?

Aksiyomları reddetmenin ilk nedeni tutarsız olmalarıdır. Tutarlı olduğu kanıtlanan aksiyomlar için bile, bazılarının hesaplamalı bir yorumu vardır (tanımsal eşitliğin onlar için bir azaltma ilkesi ile nasıl genişletileceğini biliyoruz) ve bazıları bunu yapmaz - bunlar kanonikliği kırıyor. Bu farklı nedenlerle "kötü":

• Teorik olarak, kanoniklik, belirli bir modele gitmek zorunda kalmadan dilinizin değerleri hakkında bir şeyler kanıtlamanızı sağlar. Bu, sisteminizi düşünmek için çok tatmin edici bir özelliktir; özellikle, gerçek dünyayla ilgili iddiaları destekler - natsistemde resmileştirilmiş türü gerçekten "doğal sayılar" olarak düşünebiliriz, çünkü kapalı normal sakinlerinin gerçekten doğal sayılar olduğunu kanıtlayabiliriz. Aksi takdirde , sisteminizde bir şeyi doğru bir şekilde modellediğinizi, ancak aslında farklı nesnelerle çalıştığınızı düşünmek kolaydır .

• Uygulamada, indirgeme bağımlı tür teorilerinin önemli bir öğesidir, çünkü kanıtı kolaylaştırır. Bir tanımsal eşitliğin kanıtlanması keyfi olarak zor olabilirken, tanımlayıcı bir eşitliğin kanıtlanması (daha az sıklıkla mümkündür) ancak ispat terimi önemsiz olduğundan çok daha kolaydır. Daha genel olarak, hesaplama bir kanıt asistanının kullanıcı deneyiminin temel bir yönüdür ve şeyleri beklediğiniz gibi doğru bir şekilde azaltmaları için tanımlamak yaygındır. (Hesaplamayı zorlaştırmak için aksiyomlara ihtiyacınız yoktur; örneğin, teklif eşitliklerinde dönüşüm ilkesini kullanmak zaten indirimleri engelleyebilir). Yansımayla kanıtın tüm işiispatlara yardımcı olmak için hesaplama kullanımına dayanır. Bu, diğer mantık tabanlı kanıt asistanına (ör. Yalnızca eşitlik akıl yürütmeyi destekleyen HOL-ışık; veya farklı bir yaklaşım için Zombie'ye bakın ) ve kontrol edilmemiş aksiyomları veya diğer programlama stillerini kullanarak güç ve rahatlık açısından büyük bir farktır, sizi bu konfor bölgesinden çıkarabilir.

Bir teorem kanıtlayıcıyı bazı aksiyomlarla genişletmenin neden sorunlara neden olabileceğini anlamak için, bunun ne zaman iyi huylu olduğunu görmek de ilginçtir. İki vaka akla geliyor ve her ikisi de postülaların hesaplama davranışını önemsemediğimiz gerçeğiyle ilgili.

• Gözlemsel Tip Teorisinde, Propkanonisitesini kaybetmeden tutarlı herhangi bir kanıtı varsaymak mümkündür . Gerçekten de, tüm kanıtlar eşit kabul edilir ve sistem şartlara bakmayı tamamen reddederek bunu uygular. Sonuç olarak, bir ispatın elle yapılmış olması ya da basitçe varsayılması hiçbir sonuç doğurmaz. Tipik bir örnek "uyum" kanıtı olacaktır: bir kanıt varsa eqo A = B : Typesonra herhangi tÇeşidi A, basitçe bir eşitlik kanıtı boyunca bir terim ulaştırmaktadır.t == coerce A B eq tcoerce

• MLTT'de kanonisite kaybı olmadan herhangi bir Negatif tutarlı aksiyomu ileri sürebilir . Bunun arkasındaki sezgi, negatif aksiyomların (form aksiyomları A -> False) yalnızca ilgisiz dalları reddetmek için kullanıldığıdır. Aksiyom tutarlıysa, sadece gerçekten alakasız olan ve bu nedenle terimleri değerlendirirken asla alınmayacak dallarda kullanılabilir.

Kötü davranan bir aksiyomun pratik bir örneği, buna ne dersiniz?

 0 = 1

Bahsedilen Coquand makalesi [1] olabilir, burada desen eşleştirme ile genişletilen bağımlı ITT'nin (Martin-Löf'ün sezgisel tip teorisi) UIP'yi ( kimlik kanıtlarının benzersizliği aksiyomu) kanıtlamanızı sağlar . Daha sonra Streicher ve Hoffmann [2] ITT'de UIP'yi tahrif eden bir model sunar. Dolayısıyla kalıp eşleşmesi ITT'nin muhafazakar bir uzantısı değildir.

1. T. Coquand, Bağımlı tiplerle desen uyumu .

2. Hofmann, T. Streicher, Tip teorisinin groupoid yorumu .