Temel simetrik polinomların monoton aritmetik devre karmaşıklığı?

temel simetrik polinom inci her toplamıdır ürünleri farklı değişkenler. Bu polinomun monoton aritmetik devre karmaşıklığıyla ilgileniyorum . Basit bir dinamik programlama algoritması (aşağıdaki Şekil 1'in yanı sıra bir devresi verir . $k$ $S_k^n(x_1,\ldots,x_n)$ $\binom{n}{k}$ $k$ $(+,\times)$ $(+,\times)$ $O(kn)$

Soru: alt sınırı $\Omega(kn)$ biliniyor mu?

Bir $(+,\times)$ devre eğri her ürün kapısının iki giriş en az bir değişken ise. Böyle bir devre aslında anahtarlama ve düzeltme ağı ile aynıdır (bazı kenarları değişkenler tarafından etiketlenmiş yönlendirilmiş bir asiklik grafik; her st yolu etiketlerinin ürününü verir ve çıktı tüm st yollarının toplamıdır). İçin en az bir monoton aritmetik eğri devre: Zaten 40 yıl önce, Markov şaşırtıcı bir şekilde sıkı bir sonucu ispat $S_k^n$ olan tam olarak $k(n-k+1)$ bir ürün kapılar. Üst sınır, Şekil izler 1.:

Ama çarpık olmayan devreler için bu kadar düşük bir sınır olduğunu kanıtlama girişiminde bulunmadım. Bu sadece bizim "kibirimiz" mi yoksa yol boyunca gözlemlenen bazı doğal zorluklar var mı?

PS kapılarının aynı anda tüm hesaplamak için gerekli olduğunu . Bu, 0-1 girişini sıralayan monoton boolean devrelerinin boyutunun alt sınırından gelir; Ingo Wegener'in kitabının 158. sayfasına bakınız . AKS sıralama ağ de ima kapıları bu (boolean) halinde yeterlidir. Aslında Baur ve Strassen , için monoton olmayan aritmetik devre boyutunda sıkı bir olduğunu kanıtladılar . Peki ya monoton aritmetik devreler? $\Omega(n\log n)$ $S_1^n,\ldots,S_n^n$ $O(n\log n)$ $\Theta(n\log n)$ $S_{n/2}^n$

— Stasys
kaynak

Bir meydan okuma Eğer "monoton" kısıtlamayı kaldırmak eğer, o zamanın yok verimli böyle şeyler hesaplamak için biliyorum. FFT tabanlı polinom çoğalmasını kullanarak tüm (tüm temel simetrik polinomlarını değerlendir) zamanında hesaplayabilirsiniz . Bu nedenle, monoton devre modelinde bir alt sınırının kanıtlanması , polinom çoğalmasında bir alt sınırının kanıtlanmasını gerektirecektir . $S_0^n,\dots,S_n^n$ $n+1$ $O(n \log^2 n)$ $\Omega(nk)$ $\Omega(n^2)$

İşte böyle. Resmi bilinmeyen bir tanıtın ve polinomu düşünün $y$

P (y) = \prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i} y) .

$P(y) = \prod_{i=1}^n (1 + x_i y).$

Not beri sitesindeki bilinen sabitler, bu bilinmeyen bir değişkenli polinom ve derecesi ile . Şimdi deki katsayısının tam olarak , bu nedenle tüm için hesaplaması yeterlidir . $x_i$ $y$ $n$ $y^k$ $P(y)$ $S_k^n$ $S_0^n,\dots,S_n^n$ $P(y)$

Bu, nin sürede hesaplanmasını mümkün kılar : yapraklarda ' ler ile dengeli bir ikili polinom ağacı oluşturun ve polinomları çarpın. Derece iki polinomların çarpımı alır , biz tekrar olsun, FFT teknikler kullanılarak zaman , hangi çözer . Kolaylık olması için, faktörlerini görmezden geliyorum . $P(y)$ $O(n \lg^2 n)$ $(1+x_i y)$ $d$ $O(d \lg d)$ $T(n) = 2 T(n/2) + O(n \lg n)$ $T(n) = O(n \lg^2 n)$ $\text{poly}(\lg \lg n)$

Eğer durum önem veriyorsanız çok küçük, sen hesaplayabilir içinde sadece umurumda akılda tutarak, benzer hileler kullanarak zamanı (yani, veya daha yüksek güçlerinin tüm terimlerini atma ). $k$ $S_0^n,\dots,S_k^n$ $O(n \lg^2 k)$ $P(x) \bmod y^{k+1}$ $y^{k+1}$ $y$

Tabii ki, FFT çıkarma kullanır, bu yüzden saf bir monoton devrede ifade edilemez. Polinomları monoton aritmetik devrelerle verimli bir şekilde çoğaltmanın başka bir yolu olup olmadığını bilmiyorum, ancak polinom çoğalması için herhangi bir verimli monoton yöntem hemen probleminiz için bir algoritmaya yol açar. Dolayısıyla, probleminizdeki daha düşük sınırlar, polinom çoğalması için daha düşük sınırlar gerektirir / ima eder.

— DW
kaynak

DW, bu yapıyı hatırladığınız için teşekkürler! Genellikle Ben-Or'a atfedilir ve bundan bahsetmeliydim. Yapı ayrıca, operatörünü boyutunda ve yalnızca (!) bir <i> formülü </i> verir bazılarında değerlendirerek puan). Bu, homojen ve homojen olmayan küçük derinlikli formülleri ayırmak için kullanıldı. Ancak, belirttiğiniz gibi, inşaat büyük ölçüde çıkarma kullanır. Benim sorum şu soruyor: bu kullanım aslında ne kadar “önemli”? Bu kısıtlı derinlik senaryosunda da ilginç olabilir.

O (n^{2})

$O(n^2)$

3

$3$

S_{0}^{n}, \dots, S_{n}^{n}

$S_0^n,\ldots,S_n^n$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

— Stasys

@Stasys: Bence çıkarma oldukça önemli. Yani. Nisan-Wigderson derinliği 3 homojen devrelerin alt sınırı ; homojen derinlik 3 devrede, önemli olan, dereceleri çıktı derecesinden farklı olan terimleri hesaplamanın yararsız olmasıdır. Bu, gerçekleşebilecek iptal türlerini sınırlar. Ben-Or yapımında, hesaplamak için, derecesinin bir polinomunu hesaplamak gerekir (çıkış derecesine sahip olsa bile ) ve daha sonra derece terimlerinden kurtulmak için iptal işlemini çok önemlidir. . Bu bir kanıt değil, sadece sezgi ...

S_{k}^{n}

$S_k^n$

n

$n$

k < n

$k < n$

> k

$> k$

— Joshua Grochow

@Joshua: evet, değişken katsayıları biliyoruz polinom olarak polinomları tam olarak . Bu katsayılar elde etmek için - Ama Gauss (çıkarmalar ve böylece) mi değerlerine ile belirgin noktalarına. Benim sorum, "tekdüze kelimenin" gerçekten Gauss'un olup olmadığını soruyor . (Tahmin edilen bir cevapla - HAYIR.) Bunun için, derecelerinden kurtulmanın yeterli olduğundan emin değilim . Biz zorundayız bulmak bu ilk katsayılar.

y

$y$

P (y, x)

$P(y,x)$

S_{k}^{n} (x)

$S_k^n(x)$

n + 1

$n+1$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

> k

$> k$

k

$k$

— Stasys