İç dikdörtgene zarar vermeden dikdörtgeni bölümleme

, eksene paralel bir dikdörtgendir.$C$

$C_1,\dots,C_n$$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

Bir dikdörtgen koruyucu bölüm arasında bir bölme olan , öyle ki , ikili-iç-ayrık eksene paralel dikdörtgenler ve her için : , yani, mevcut her bir dikdörtgen şu şekilde benzersiz bir yeni dikdörtgen içinde bulunur:$C$$C = E_1\cup\dots\cup E_N$$N\geq n$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i \subseteq E_i$

Küçük bir ile dikdörtgen koruyucu bir bölüm bulmak için bir algoritma nedir ?$N$

Özellikle, parçaları olan bir dikdörtgen koruyucu bölüm bulmak için bir algoritma var mı?$N=O(n)$

YENİ CEVAP: aşağıdaki basit algoritma asimptotik olarak en uygunudur:

dikdörtgenlerinin her keyfi olarak, dikdörtgenler birbirinden ayrık kalacak şekilde mümkün olduğunca .$C_i$

Delik sayısı en fazla . Delik sayısının en az olduğu konfigürasyonlar olduğu için bu asimptotik olarak optimaldir .$k-2$$k-O(\sqrt k)$

Kanıtlar bu yazıda bulunmaktadır .

ESKİ CEVAP:

Aşağıdaki algoritma, optimal olmamakla birlikte, parçaları olan bir dikdörtgen koruyucu bölüm bulmak için yeterlidir .$N=O(n)$

Algoritma , dikdörtgen başlatılan doğrusal bir çokgen ile çalışır .$P$$C$

Aşama 1: Bir dikdörtgen al bir Batı sınırına bitişik olan (yani, başka bir dikdörtgen var batı tarafı arasında ve bir batı sınırı ). Yeri içinde o batı sınır temas dek ve uzatılmasına . Let için ( ) gerilmiş versiyonu . Let . Faz 1'i tüm kadar kez tekrarlayın.$C_i$$P$$C_j$$C_i$$P$$C_i$$P$$P$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i$$P=P\setminus E_i$$n$$n$orijinal dikdörtgenler yerleştirilir ve gerilir. Aşağıdaki resimde, dikdörtgenlerin yerleştirilmesi için olası bir sıra :$C_1,C_2,C_4,C_3$

Şimdi , doğrusal bir çokgendir (muhtemelen bağlantısı kesilmiş), şöyle:$P$

I sayısı iddia içbükey köşeler de en fazla olduğu . Bunun nedeni, gerilmiş bir dikdörtgen her çıkarıldığında 3 olasılık vardır:$P$$2n$$P$

• 2 yeni içbükey köşe eklendi ( yerleştirirken gibi );$C_1,C_4$
• 3 yeni içbükey köşe eklenir ve 1 çıkarılır ( gibi );$C_3$
• 4 yeni içbükey köşe eklenir ve 2 tanesi kaldırılır ( gibi ).$C_2$

2. Aşama: Bölme varolan algoritma kullanılarak eksene paralel dikdörtgenler içine (bkz Keil 2000, sayfa 10-13 ve Eppstein 2009, sayfa 3-5 bir inceleme için).$P$

Keil, minimal bir bölümdeki dikdörtgen sayısının 1 + içbükey köşe sayısı ile sınırlı olduğunu söyleyen bir teoriden bahsediyor. Bu nedenle, bizim durumumuzda sayı en fazla ve bölümdeki dikdörtgenlerin toplam sayısı .$2n+1$$N\leq 3n+1$

Bu algoritma uygun değil. Örneğin, yukarıdaki örnekte optimal çözüm iken verir . Yani iki soru kalıyor:$N=13$$N=5$

A. Bu algoritma doğru mu?

B. Optimal bulmak için bir polinom-zaman algoritması var mı , yoksa en azından daha iyi bir yaklaşım mı?$N$