Aritmetik devreler boole'den daha zayıf mı?

Let bir (kesintisiz-monoton) minimum boyutu aritmetik belirtir ( + , X , - ) devresi belirli bir çoklu doğrusal polinom işlem f ( x 1 , ... , x , n ) = Σ E ∈ e c e n Π i = 1 x e i$A(f)$$(+,\times,-)$ Ve B ( f ) boolean bir (kesintisiz-monoton) minimum boyutunu ifade ( ∨ , ∧ , ¬ ) devre işlemBoole versiyonu f b ve f ile tanımlanır: ön b ( x 1 , ... , x , n ) = ⋁ e ∈ E ⋀ i : e i ≠ 0 x

$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$$ $B(f)$$(\lor,\land,\neg)$ $f_b$$f$ $$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$$

B ( f ) ' nin A ( f ) ' den küçük olduğu polinomlar biliniyor mu? $f$$B(f)$$A(f)$

Devrelerin monoton versiyonlarını dikkate alırsak - Eksi ve Not ( ¬ ) geçitleri yok - B ( f ) , A ( f ) ' den katlanarak bile daha küçük olabilir : örneğin, en kısa st yolu polinomunu f ilgili K , n ; sonra B ( f ) = O ( n 3 ) ve A ( f ) = 2 Ω ( $(-)$$(\neg)$$B(f)$$A(f)$$f$$K_n$$B(f)=O(n^3)$ . Peki "monoton olmayan dünyada" ne olur? Elbette,A(f)üzerinde büyük alt sınırlarımız olmadığı içinbüyükboşluklar bilinemez. Ama belki de en azından bilinen bazı küçük boşluklar var? $A(f)=2^{\Omega(n)}$$A(f)$

---

Sorumun NOT (2016/03/15), ben büyük katsayılar nasıl belirtilen yok izin verilir. Igor Sergeev bana vermesiyle, örneğin, aşağıdaki (tek değişkenli) polinom f ( Z ) = Σ m j = 1 2 2 j m z j sahip bir ( f ) = Ω ( m, 1 / 2 ) (Strassen ve insanların yaptığı grubu). Fakat bu polinom için B ( f ) = 0 , çünkü f b$c_e$$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$$A(f)=\Omega(m^{1/2})$$B(f)=0$ . Biz kabinin elde edebilirsiniz f birçok değişkenlipolinom f ' ( x 1 , ... , x N ) ait N = log m Kronecker'in değişimini kullanarak kullanarak değişkenler. Her üs ile j bir monomial X j = ∏ i : a i = 1 x i , burada ( a 1 , … , a n$f_b(z)=z$$f$$f'(x_1,\ldots,x_n)$$n=\log m$$j$$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$$(a_1,\ldots,a_n)$ ikili gösteriminin 0-1 katsayılarıdır . Daha sonra polinom istenen f ' = Σ m j = 1 C j x j , ve sahip olduğu bir ( f ' ) + n ≥ bir ( f ) = Ω ( m, 1 / 2 ) = 2 Ω ( n ) . Fakat f ′' nin boolean versiyonu değişkenlerin OR'dir, yani B $j$$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$ $$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$$ $f'$ ve eşit bir üstel boşluğa sahibiz. Bu nedenle, katsayı büyüklüğü numarasını üç üstel olabilirler n boşluk, değişken bir ( f ) / B ( f ) olabilirhatta üstel olarak gösterilebilir. (Aslında, büyüklüğü kendisi değil -. Katsayılarının daha cebirsel bağımlılığı) ile gerçek bir sorun nedeni budur A ( f ) ait olduğuküçükkatsayılar (ideal, sadece 0-1). Ancak bu durumda Yeşu'nun hatırladığı gibi alt sınır A ( f $B(f')\leq n-1$$n$$A(f)/B(f)$ $A(f)$ Strassen ve Baur (0-1 katsayılı) bugün sahip olduğumuz en iyi şey olmaya devam ediyor.$A(f)=\Omega(n\log n)$

$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

$\Omega(n \log n)$$\sum_{i=1}^n x_i^n$$\Omega(n \log n)$$x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$