Genişletilmiş Öklid Algoritmasında “Taşma”

Soruyu soracağım yerle yanıldığımda üzgünüm (belki stackoverflow.com/mathoverflow.net adresine gitmeliyim?).

Genişletilmiş Öklid algoritmasını değerlendirirken Bézout'un katsayılarının ( + bt = gcd ( a , b ) olarak kimlikte s ve t ) bazı makul değerleri aşmayacağına dair bir kanıt olup olmadığını merak ediyorum (a, b, ). Bazı genel amaçlı programlama dillerinde özellikle programın taşma doğruluğu ile ilgileniyorum.

Kesin olmak gerekirse, Victor Shoup'un algoritma açıklamasını kullandığımı söyleyebilirim (4.2 Sayısal Teoriye ve Cebire Hesaplamalı Giriş ”kitabında ana sayfasından ücretsiz olarak bulunabilir).

ds.algorithms nt.number-theory

— Artem Pelenitsyn
kaynak

Bunun kesinlikle kapsam dahilinde olduğunu düşünüyorum.

— Suresh Venkat

Buna Bézout'un kimliği / lemması ( Bézout'un cebirsel geometride teoremi ile karıştırılmamalıdır ) şunları ifade eder:

$a,b \neq 0$ $\gcd(a,b) = ax + by$ $x,y$ $|x| \leq |b|$ $|y| \leq |a|$

İspatlar standart cebir kitaplarında oluşturulabilir. Ayrıca gcd sürecinin iterasyonlarını indükleyerek kendiniz de kanıtlayabilirsiniz.

Genel olarak bu, çarpımsal Öklid işlevine sahip her Öklid alanı için geçerlidir . Burada ,ki bu çarpımsaldır. $R$ $f$ $R = \mathbf{Z}$ $f(x) = |x|$

— Hsien-Chih Chang 張顯之 Instagram Hesabındaki Takipçileri
kaynak

Wikipedia'ya atıfta bulunuyorsunuz, ancak böyle bir kelime yok: “Ayrıca, varsayabiliriz ...”. Lütfen bazı “standart cebir ders kitabını” adlandırır mısınız? Rotman'ın soyut cebirdeki ilk dersine baktım: Eucl'nin tanımı var. Algo, ama katsayılar üzerinde böyle bir sınır yok. Benim yazımda tarafımdan atıfta bulunulan Shoup'un kitabındaki aynı hikaye.

— Artem Pelenitsyn

Math.tut.fi/~ruohonen/MC.pdf adlı Keijo Ruohonen'in kitabında Teorem 2.5'i deneyin . Annem doğruysa, Fraleign kitabının ana metinde veya alıştırmalarda lemması var. amazon.com/First-Course-Abstract-Algebra-7th/dp/0201763907

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Bu genelleştirilebilir mi? mesela bir çözüm vardır ana kadar şekilde?

gcd (a_{1}, \dots, a_{n}) = \sum_{i} x_{i} a_{i}

$\gcd(a_1,\ldots,a_n) = \sum_{i} x_ia_i$

\sum_{i} | x_{i} | \leq \sum_{i} | a_{i} |

$\sum_{i}|x_i|\leq \sum_{i}|a_i|$

— Chao Xu