Sınırlı çaplı en büyük nokta kümesini bulma

Verilen noktalar içindeki ve uzaklığı , bu noktaların en büyük alt kümesini bulur, öyle ki hiçbir ikisinin Öklid uzaklığı aşmaz . $p_1,\ldots,p_n$ $\mathbb{R}^{d}$ $l$ $l$

Bu sorunun karmaşıklığı nedir?

İki noktanın mesafesi en fazla olduğunda bir kenarı olan noktaların üzerindeki grafikte , sorun maksimum bir klik bulmakla eşdeğerdir. Tersi tutamayabilir, çünkü her grafik bu şekilde elde edilemez (bir örnek, için yıldızıdır ). Bu nedenle ilgili bir soru şudur: Bu grafik sınıfı hakkında bilinenler nelerdir? $l$ $K_{1,7}$ $d=2$

ds.algorithms reference-request cg.comp-geom

— Marcus Ritt
kaynak

Eğer sabitlenirse, "önemsiz" bir P-zamanı algoritması olduğunu unutmayın: böyle bir küme, yarıçap bir top içine alındığından ve genellik kaybı olmadan top minimumdur (yani noktalarına dokunur ), tüm altkümeleri numaralandırmanız yeterlidir. Daha iyisini yapabilirsiniz, ancak karmaşıklık açısından sorun "kolay" dır.

d

$d$

l / 2

$l/2$

d + 1

$d+1$

— Suresh Venkat

En uygun setin mutlaka l / 2 yarıçapında toplandığını doğru bulmuyorum. Düzlemde, örneğin, yan uzunluk l'in eşkenar üçgeninin üç köşesi bu kadar kapalı değildir.

— David Eppstein

ah doğru. ancak numaralandırma ne olursa olsun çalışmalıdır.

— Suresh Venkat

Topların içindeki alt kümeleri numaralandırabilirsiniz, ancak l / 2 yarıçapını yaparsanız, bazı düşük çaplı alt kümeler bulamazsınız ve yarıçapı bundan daha yüksek yaparsanız, alt kümelerin nasıl kırpılacağı açık değildir. düşük çapa sahip.

— David Eppstein

neden altkümeleri numaralandıramıyorum, bir min kapalı topu bulamıyorum ve her biri için içerideki kardinaliteyi hesaplayamıyorum?

— Suresh Venkat

Yanıtlar:

Bir var "Jeff Erickson ile benim kağıt Bu sorunun iki boyutlu versiyonu için zaman algoritması, komşuları ve minimal polytopes bulmakta en yakın Iterated , Diski". Zorunlu. Geom. 11: 321-350, 1994. Aslında kağıt öncelikle ikili soruna bakar: alt kümedeki noktaların sayısı göz önüne alındığında, mümkün olan en küçük çapı bulun; ancak alt program olarak tanımladığınız sorunu kullanır. En azından yazdığımız zaman, daha yüksek boyutlar için üstel bir şey bilmiyorduk (alt kümede sadece noktası varsa, üstel kısım aynı kağıttaki yerine yerine bağımlı hale getirilebilir ). $O(n^3\log n)$ $k$ $k$ $n$

— David Eppstein
kaynak

En fazla çapa sahip en küçük alt kümeyle ilgileniyorsanız, yaklaşım oldukça kolaydır . Izgaraları kullanarak doğrusal bir zaman algoritması artık "standart" tır. Sabit muhtemelen gibi bir şey olacaktır . $(1+\epsilon)l$ $2^{O(1/\epsilon^d)}$

K noktaları içeren en küçük topu bulmak için bazı çalışmalar var, ancak çap problemi doğası gereği daha zor. Nedenini görmek için, iyi bir başlangıç noktası, çapı 3d olarak hesaplamak için Clarkson-Shor kağıdıdır.

BTW, yüksek boyutlar için, bilya problemi (veya benzer bir gürültü) cinsinden zaman üssü ile uyumludur (ancak boyutta değil!). Bu yaklaşımın bu soruna genişletilebileceğinden kuşkuluyum ama yanılıyor olabilirim. $O(1/\epsilon^2)$

— Sariel Har-Peled
kaynak