Çok Kesimli Bir Sorun

12

Bir isim veya bu soruna herhangi bir referans arıyorum.

Ağırlıklı bir grafik verildiğinde köşelerin kesilen kenarların değerini en üst düzeye çıkarmak için ayarlar : $G = (V, E, w)$ $n = |V|$ $S_1,\ldots,S_n$ Bazısetlerininboş olabileceğini unutmayın. Hariç Yani sorun, esasen maksimum k-kesimgirişi parçası değildir: algoritma herhangi birini seçebilirsinizkesim kenarları değerini maksimize etmek o kadar sever. Açıkçası, kenar ağırlıkları negatif değilse sorun önemsizdir: her köşeyi kendi kümesine tek başına yerleştirin ve tüm kenarları kesin. Ancak, işleri ilginç hale getirmek için negatif ağırlık kenarlarına izin verilir.

c (S_{1}, \dots, S_{n}) = \sum_{i \neq j} (\sum_{(u, v) \in E : u \in S_{i}, v \in S_{j}} w (u, v))

$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$

S_{i}

$S_i$

k

$k$

k

$k$

Bu çalışılan bir problem mi? Algoritmik veya sertlik sonuçlarına yapılan referanslar takdir edilecektir!

— Aaron Roth
kaynak

2

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

G

$G$

\pm 1

$\pm 1$

11

Sorun, Korelasyon Kümelemesi (CC) Bansal, N., Blum, A. ve Chawla, S. (2004) 'in bir varyantıdır. "Korelasyon Kümelemesi". Makine Öğrenim Dergisi (Veri Kümelemede Kuramsal Gelişmeler Üzerine Özel Sayı, s. 86–113, doi: 10.1023 / B: MACH.0000033116.57574.95.

$G$ $(v,w)$ $a(v,w)$ $b(v,w)$ $P$ $c_P(v,w)$ $a(v,w)$ $v$ $w$ $P$ $b(v,w)$ $P$ $V$ $\sum_{v,w} c(v,w)$

$a(v,w)=0$ $b(v,w)$ $O(\log n)$

Tarif edilen PTAS'lar düzgün polinom programlama tekniğine dayanmaktadır: en genel durumda probleminizin tekniğin gereksinimini karşılayacağını düşünmüyorum.

— Gianluca Della Vedova
kaynak

18

Herhangi bir referans bilmiyorum, ancak grafik renklendirmenin azaltılmasıyla NP-tam olduğunu gösterebilirim.

G grafiği ve G renginin renklendirileceği bir dizi k renk göz önüne alındığında, her yeni tepe noktası G'deki her tepe noktasına bağlanacak şekilde G yeni köşeleriyle birlikte G'den oluşan yeni bir G 'grafiği yapın. G'nin her kenarı, k + köşelerinden ikisini birleştiren her kenara ağırlık + kn ve k yeni köşeleri G'ye bağlayan kenarların her birine ağırlık -1.

Daha sonra, G k-renklendirilebiliyorsa, renklendirme (yeni köşelerin her birini renk sınıflarından birine atayan bir bölümle birlikte) toplam ağırlık kn (m + k (k-1) / 2) - (k 1) n.

Diğer yönde, bu toplam ağırlığa ulaşan bir bölümünüz varsa, G'nin tüm kenarlarını ve yeni köşe çiftleri arasındaki tüm kenarları kesmelidir. G'nin tüm kenarlarının kesilmesi, G'nin bir renklendirmesini tanımlar ve yeni köşe çiftleri arasındaki kesme kenarları, G'nin her bir tepe noktasının k yeni köşe noktalarından en fazla birine bitişik olabileceği anlamına gelir. Bu nedenle, ağırlıkta en uygun - (k-1) n terimini elde etmek için, G'nin her bir tepe noktası, yeni köşelerden tam olarak bitişik olmalıdır ve bu nedenle, renklendirmede tanımlanan renkte sadece k renk sınıfları olabilir. bölüm.

Yani, verilen ağırlık sınırına sahip bölümler G'nin k renkleriyle 1-1 yazışmadadır, bu nedenle renklendirmeden bölümleme probleminize bir azalma tanımlanır.

— David Eppstein
kaynak

11

Jukka'nın sorusuna yaptığı bir yorumda sorduğu özel duruma bir referans ekleyerek David'in güzel NP tamlık kanıtını destekleyeyim. Grafik tam grafikse ve kenar ağırlıkları ± 1 ile sınırlıysa, sorun Küme Düzenleme olarak bilinen NP-tam sorununa eşdeğerdir.

Küme Düzenleme Shamir, Sharan ve Tsur tarafından ortaya konan aşağıdaki sorundur [SST04]. Burada, bir küme grafiği , tepe-ayrık kliklerin birleşimi olan bir grafiktir ve bir düzenleme , bir kenarın eklenmesi veya çıkarılmasıdır.

Küme Düzenleme
Örneği : Bir grafik G = ( V , E ) ve bir tamsayı k ∈ℕ.
Soru : G'yi en fazla k düzenleme ile bir küme grafiğine dönüştürmek mümkün müdür ?

Küme Düzenleme NP-tamamlandı [SST04].

Küme Düzenlemesinin mevcut sorunun yukarıda belirtilen özel durumuna eşdeğer olduğunu görmek için G = ( V , E ) bir grafik olsun. Let n = | V | ve G'yi tüm grafik K _n'nin bir alt-hattı olarak düşünün . K _{, n} , ağırlık -1 kenarlara vermek G ve kenarlara ağırlık + 1 G . Sonra G, en fazla bir küme grafik haline olabilir k bir bölüm vardır, ancak ve ancak düzenlemeleri ( S ₁ , ..., S _N ), böylece C ( S ₁ , ...,S _n ) bin - | Bu ağırlıklı tam grafik K için E | - k _n . $\binom{n}{2}$

[SST04] Ron Shamir, Roded Sharan ve Dekel Tsur. Küme grafiği değiştirme sorunları. Kesikli Uygulamalı Matematik , 144 (1-2): 173-182, Kasım 2004. http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007

— Tsuyoshi Ito
kaynak