Sonlandırıcı olmayan

Bu soruları düşünüyorum:

Tutarlı ve Turing tamamlanmış daktilo edilmiş bir lambda hesabı var mı?

/cs/65003/if-%CE%BB-xxx-has-a-type-then-is-the-type-system-inconsistent

ve türsüz ortamda ilgili soruları cevaplamak zaten zor ! Daha spesifik olarak, Turing-bütünlüğünü sonlandırmadan aşağıdaki şekilde geri kazanıp kazanamayacağımızı merak ediyorum:

Soru: Verilen bir (saf) $\lambda$ uzun dönem $t$ ile bir zayıf kafa normal formda var yapar her bir sabit noktalı bir bağdaştırıcının mevcut $Y_t$ , öyle ki
$Y_{t} (λ x . x) = t$ $Y_t\ (\lambda x.x) = t$

Eşitliklerin tümü modulo alınır $\beta\eta$ .

Aslında olması söz bu sürümünü şüpheli yanlış bir soruyu rahatlatacaktır böylece döngü, bağdaştırıcılarla bir döngü combinator $Y$ bir terim olarak tanımlanır öyle ki her için $f$

Y f = f (Y^{'} f)

$Y\ f=f\ (Y'\ f)$ nerede

Y^{'}

$Y'$ yine bir döngü birleştiricisi olmak için gereklidir. Elbette yinelemeli fonksiyonları her zamanki gibi tanımlamak için bu yeterlidir.

Daha genel anlamda, bir sigara sonlandırma gitmek için "doğal" yollar bulmak ilgilenen kulüpler $t$ yukarıdaki denklem memnun olmasa bile, bir döngü combinator için.

Ben de yukarıdaki sorunun daha zayıf sürümleri ile ilgileniyorum, örneğin normal formda her ile bir uygulama olarak alınabilir (gerçekten yardımcı olduğundan emin değilim). $t$ $t\equiv t_1\ t_2\ldots t_n$ $t_i$

Şimdiye kadar: doğal yaklaşım ve "biber" uygulamalarını , örneğin $t$ $f$

Ω := (λ x . x x) (λ x . x x)

$\Omega:=(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

olağan olur

Y_{Ω} := λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))

$Y_\Omega:= \lambda f.(\lambda x. f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))$

Fikri baş azaltmaktır Lambda uygulama için ve ile değiştirin , ancak bir sonraki adım belirsizdir (ve bunun herhangi bir şeye yol açabileceğinden şüpheliyim). $t$ $\lambda x. t'$ $\lambda x.f\ t'$

Eminim onlar Söyleyecek bir şeyin var olmadığını görmek için Böhm ağaçları hakkında yeterli anlamaya değilim, ama beri ben çok şüpheliyim 'nın Böhm ağacı basitçe için bir tane hiç benzemiyor ki, : sonsuz ağacı soyutlamalar. $\Omega$ $\bot$ $Y_\Omega$

Düzenleme : Bir arkadaşım bu saf yaklaşımın şu terim ile çalışmadığını belirtti: Saf yaklaşım Ama bu değil sabit nokta combinator! Bu, ikinci uygulaması değiştirilerek düzeltilebilir .

(λ x . x x x) (λ x . x x x)

$(\lambda x.x\ x\ x)(\lambda x.x\ x\ x)$

(λ x . f (x x x)) (λ x . f (x x x))

$(\lambda x.f\ (x\ x\ x))(\lambda x.f\ (x\ x\ x))$

f

$f$

, ama sonra

orijinal dönem hakkı tanımayacak. Bu terimin orijinal soruya karşı bir örnek olup olmadığı açık değildir (ve kesinlikle daha genel olana karşı bir örnek değildir).

λ y z . f y

$\lambda y z.f\ y$

f \mapsto I

$f\mapsto \mathrm{I}$

lambda-calculus combinatory-logic

— cody
kaynak

Kafanın normal formunun olmaması gereksiniminin zayıf kafa normal formlarını da dışlayacak şekilde güçlendirilmesi gerektiğine inanıyorum. Eğer t bir lambda üretebiliyorsa, kafa pozisyonunda her zaman bir sabitleme noktası birleştiriciniz (f = id ile başlayarak) olduğundan, lambda onun tarafından üretilmelidir, bu mümkün değildir.

— Andrea Asperti

@AndreaAsperti haklısın elbette. Soruyu değiştireceğim.

— cody

Bu çok güzel sorunun birkaç yönü var, bu yüzden bu cevabı buna göre yapılandıracağım. $\newcommand{\setof}[1]{\{#1\}}$ $\newcommand{\thra}{\twoheadrightarrow}$ $\newcommand{\codeof}[1]{\lceil #1 \rceil}$

Kutulu soruya 1. cevaptır hayır . Terimi arkadaşınız tarafından önerilen gerçekten counterexample olduğunu. $\Omega_3 = (\lambda x.xxx)(\lambda x.xxx)$

Yorumlarda daha önce , sorunun zayıf kafa normal formu olmayan terimlerle sınırlı oluncaya kadar "ogre" gibi karşı örnekleri olduğu fark edilmişti . Bu terimler sıfır terim olarak bilinir . Bunlar, herhangi bir ikame altında asla bir lambdaya indirgenmeyen terimlerdir. $K^\infty=Y K$

Herhangi bir sabit nokta bağdaştırıcı (FPC) için , olarak adlandırılan bir kapatma bunu her azltm bir REDEX için daha da azaltır: Burada (aka "kök aktif"). $Y$ $Y I$

$K^\infty$ sessiz değil; ne olduğunu olarak bir redüktaz kümesini incelemek karakterize olan $\Omega_3$ $-$

{Ω_{3} \underset{k}{\underset{⏟}{(λ x . x x x) \dots (λ x . x x x)}} ∣ k \in N}

$\setof{\Omega_3 \underbrace{(\lambda x. xxx) \cdots (\lambda x. xxx)}_k \mid k \in \mathbb{N}}$

Aksine neden kesin bir argüman vermek daha FPCs herkes için dilsizdir (herhangi bir döngü combinator için gerçekten) zahmetli henüz umarım net yeterli olabilen Ben dilsiz terimlere kısıtlayan yanı, Sorunuzun bariz genelleme ele alacağız. $Y I$ $Y$ $-$ $-$

Sessiz terimler, çözülemeyen terimlerin bir alt sınıfı olan sıfır terimin bir alt sınıfıdır. Birlikte bunlar, önemsiz Berarducci, Levy-Longo ve B \ "ohm ağaçlarına karşılık gelen lambda hesabında" anlamsız "veya" tanımsız "kavramının belki de en popüler seçimleridir. Paula Severi ve Fer-Jan de Vries tarafından detaylı olarak analiz edilmiştir. [1] Sessiz terimler bu kafesin alt elemanını, yani "tanımsız" kavramının en kısıtlayıcı nosyonunu oluşturur.

2. sessiz bir terim olmasına ve özelliğine sahip bir döngü birleştiricisi olmasına izin verin . $M$ $Y$ $YI = M$

Önce iddia, taze bir değişken için , aslında çok benziyor "serpilerek elde edilen Eğer anlatılan, bazı azltm etrafında" . $z$ $Yz$ $Y_M$ $z$ $M$

Church-Rosser tarafından, ve ortak bir indirgeye sahiptir, . Standart bir azaltma . Her dönemi, bu indirgeme altında benzersiz bir alt- dönemine karşılık gelir . Herhangi bir alt dönem için , , , burada orta bacak zayıf bir kafa azalmasıdır (ve son bacak) dahili). ikinci bir bacak ile redex kasılırken bir koruma ile "korunur" , ise ikamenin torunu . $YI$ $M$ $M'$ $R : YI \thra_s M'$ $M'$ $YI\equiv Yz[z:=I]$ $C[N]=M'$ $R$ $YI \thra C[N_0] \thra_{wh} C[N_1] \thra_i C[N]$ $N$ $z$ $I P$ $I$ $[z:=I]$

Açıkçası, , bazı alt terminallerini korumalıdır, aksi halde sessiz de olur. Öte yandan, sonlandırılmaması için gerekli olan bu alt başlıkları korumamaya dikkat etmelidir, aksi takdirde bir döngü birleştiricinin sonsuz B \ "ohm ağacını geliştiremedi. $Y$ $M$

Bu nedenle, normalleşmeme için her indirgemenin her alt döneminin, söz konusu alt aralığın önüne bir değişken koymak, normalleştirici bir terim kazandırdığı için sessiz bir terim bulmak için yeterlidir.

düşünün ; burada . Bu , ancak her yinelemede, bağımsız değişken konumunda oluşumunun, bir baş değişken tarafından bir kimlik besleyerek "engellenmediğini" kontrol ederiz . Bir koyarak herhangi subterm önünde sonunda şekil normal formu verecek her ya olduğu , ya da bir " bunlardan -sprinkling". Bu nedenle , genelleştirilmiş sorunun bir örneğidir. $\Psi = W W$ $W = \lambda w. w I w w$ $\Omega$ $W$ $z$ $zP_1\cdots P_k$ $P_i$ $I$ $W$ $z$ $\Psi$

TEOREMİ. Bir döngü combinator yoktur şekilde . $Y$ $YI = \Psi$

KANIT. Her redüktaz grubu olan . İle dönüştürülebilir amacıyla , bu birine azaltmalıdır. Argüman tüm durumlarda aynıdır; somutluk için, . $\Psi$ $\setof{WW,WIWW,IIIIWW,IIIWW,IIWW,IWW}$ $\Psi$ $YI$ $YI \thra IIWW$

Herhangi bir standart azaltma olarak edilebildiğini $YI \thra_s IIWW$

\begin{aligned} Y I ↠_{w} P N_{4}, P ↠_{w} Q N_{3}, Q ↠_{w} N_{1} N_{2}, thus Y I ↠_{w} N_{1} N_{2} N_{3} N_{4} \\ N_{1} ↠ I, N_{2} ↠ I, N_{3} ↠ W, N_{4} ↠ W \end{aligned}

$\begin{align*} YI \thra_w P N_4, P \thra_w Q N_3, Q \thra_w N_1 N_2, \text{thus } YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4\\ N_1 \thra I, N_2 \thra I, N_3 \thra W, N_4 \thra W \end{align*}$

Bize azalma bakın edelim olarak ve başlayarak indirimleri olarak . $YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4$ $R_0$ $N_i$ $R_i$

Bu azalmalar ikamesi boyunca kaldırılabilir elde etmek için böylece , . $[z:=I]$

\begin{aligned} R_{0}^{z} : Y z ↠ z^{k} (M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}) \\ N_{i} \equiv M_{i} [z := I] \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_0 : Yz \thra z^k(M_1 M_2 M_3 M_4)\\ N_i \equiv M_i[z:=I] \end{align*}$

R_{0}

$R_0$

Y I \overset{R_{0}^{z} [z := I]}{↠} I^{k} (N_{1} \dots N_{4}) ↠_{w}^{k} N_{1} \dots N_{4}

$YI \stackrel{R^z_0[z:=I]}{\thra} I^k(N_1 \cdots N_4) \thra^k_w N_1 \cdots N_4$

Benzer şekilde, her bir i $R_i : N_i \thra N \in \setof{I,W}$

\begin{aligned} R_{i}^{z} : M_{i} ↠ N_{i}^{z} \\ R_{i} : N_{i} \overset{R_{i}^{z} [z := I]}{↠} N_{i}^{z} [z := I] ↠_{I} N \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_i : M_i \thra N^z_i\\ R_i : N_i \stackrel{R^z_i[z:=I]}{\thra} N^z_i[z:=I] \thra_I N \end{align*}$

bu çarpanlarına ikinci ayağı, tam olarak ikamesi ile oluşturulan redekslerinin kasılmasından oluşur . (Özellikle, normal bir form olduğundan .) $R_i$ $I$ $N^z_i[z:=I]$ $N$ $N^z_i$

$N^z_i$ bir "denilen ne ait -sprinkling herhangi bir sayıda yerleştirilmesiyle elde edilen", ve alt terimleri, herhangi bir sayıda çevremi . Bu yana , şekli biri olacak $z$ $N$ $z$ $N$ $N \in \setof{I,W}$ $N^z_i$

\begin{aligned} z^{k_{1}} (λ x . z^{k_{2}} (x)) \\ z^{k_{1}} (λ w . z^{k_{2}} (z^{k_{3}} (z^{k_{5}} (z^{k_{7}} (w) z^{k_{8}} (λ x . z^{k_{9}} (x))) z^{k_{6}} (w)) z^{k_{4}} (w))) \end{aligned}

$\begin{align*} &z^{k_1}(\lambda x. z^{k_2}(x))\\ &z^{k_1}(\lambda w. z^{k_2}( z^{k_3}( z^{k_5}( z^{k_7}(w) z^{k_8}(\lambda x. z^{k_9}(x)) ) z^{k_6}(w) ) z^{k_4}(w) )) \end{align*}$

Böylece , ile bir ait -sprinkling için ve için . $M_1 M_2 M_3 M_4 \thra N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ $N^z_i$ $z$ $I$ $i =1,2$ $W$ $i=3,4$

Aynı zamanda, henüz sonsuz fpc Bohm ağacı vermek için . Bu nedenle , birinde, terimin başına sonsuz sıklıkta gelen, ancak daha fazla azalmayı engellemeyen bir "serpme" . $N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ $z(z(z(\cdots)))$ $z^{k_j}$ $N^z_i$

Ve şimdi bitti. Her kontrol ile için ve her biri olası değeri için, biz böyle bir yağmurlama var olduğunu bulmak. $N^z_i$ $i \le 4$ $k_j$ $j \le 2+7\lfloor \frac{i-1}{2} \rfloor$

Örneğin, son değiştirme de olarak , sonra normalleştirme indirgemesi $W$ $IIWW$ $W^z = \lambda w. z(wIww)$

I I W W^{z} \to I W W^{z} \to W W^{z} \to W^{z} I W^{z} W^{z} \to z (I I I I) W^{z} W^{z} ↠ z I W^{z} W^{z}

$IIWW^z \to I W W^z \to WW^z \to W^z I W^z W^z \to z (I I I I) W^z W^z \thra z I W^z W^z$

( böyle bir sprinklingi kesin olarak kabul ettiğine dikkat edin, çünkü belirli bir alt dönemi normalleşmeyi etkilemeden "korunabilir". Değişken kafa pozisyonunda gelir, ancak yeterince redeks aşağıda kalır.) $\Omega$

3. "Yağmurlama dönüşümü" nin başka kullanımları vardır. Örneğin, yerleştirerek her REDEX önünde , bir terim eldeNormal bir form olan , ancak denklemini karşılar . Örneğin Statman tarafından [2] 'de kullanıldı. $z$ $M$ $N = \lambda z. M_z$ $N I = M$

4. Alternatif olarak, gereksinimini gevşetirseniz , yol boyunca s zinciri çıkarırken , azaltılmasını simüle eden çeşitli (zayıf) fpcs bulabilirsiniz . Eminim bu genel soruya cevap verecek değilim, ama bir dizi kesinlikle vardır (hesaplanabilir) dönüşümleri hangi çıkış her dilsiz için combinators döngü azaltılması grafiği şekilde de, olduğu yapısal olarak benzeyen ve . Örneğin, $Y I = M$ $Y$ $M$ $z$ $M \mapsto Y_M$ $M$ $Y_M$ $M$

Y ⌈ M ⌉ z = {\begin{cases} z (Y ⌈ P [x := Q] ⌉ z) & M \equiv (λ x . P) Q \\ Y ⌈ N ⌉ z & M is not a redex and M \to_{w h} N \end{cases}

$Y \codeof{M} z = \begin{cases} z (Y \codeof{P[x:=Q]} z) &M\equiv (\lambda x.P)Q\\ Y \codeof{N} z &M \text{ is not a redex and }M \to_{wh} N \end{cases}$

[1] Severi P., de Vries FJ. (2011) Infinitary Lambda Analizinde Anlamsız Kümelerin Kafesinin Ayrıştırılması. In: Beklemishev LD, de Queiroz R. (eds) Mantık, Dil, Bilgi ve Hesaplama. WoLLIC 2011. Bilgisayar Biliminde Ders Notları, cilt 6642.

[2] Richard Statman. Aşırı akım S, K birleştiricisi yoktur. Araştırma Raporu 91–133, Matematik Bölümü, Carnegie Mellon Üniversitesi, Pittsburgh, PA, 1991.

— Andrew Polonsky
kaynak

Bu cevap harika ve muhtemelen kabul edeceğim. Ancak, ben emin değilim "hayır combinator orada döngü olandan başka sizin tarif edilmektedir gerçek teoremleri, öyle ki ". Bence teoremleri ayrı ayrı belirtmek argümanları takip etmeyi çok daha kolaylaştıracaktır.

Y

$Y$

Y I = Ω_{3}

$Y\ I=\Omega_3$

— cody

İyi bir nokta. Cevabı yeni güncelledim.

— Andrew Polonsky