Gerçek rastgele (muhtemelen) RP yerine Kolmogorov rastgele ile değiştirilebilir mi?

Kolmogorov rasgeleliğinin RP için yeterli olacağını göstermeye çalışıldı mı? "Doğru cevap EVET ise, o zaman (olasılıklı Turing makinesi) EVET'i olasılıkla döndürür ..." ifadesinde kullanılan olasılık bu durumda her zaman iyi tanımlanabilir mi? Yoksa bu olasılık için sadece üst ve alt sınırlar olur mu? Yoksa sadece olasılıkların iyi tanımlanacağı (veya en azından 1/2'den büyük olması gereken alt sınır) bazı olasılıklı Turing makinesi var mı?

Buradaki RP sınıfı nispeten keyfidir ve bu soru Kolmogorov rasgeleliğinden daha zayıf (sözde-) rasgelelik kavramları için sorabilir. Ancak Kolmogorov rasgeleliği iyi bir başlangıç ​​noktası gibi görünüyor.

"Olasılık" kelimesini anlamak, Kolmogorov rasgeleliğinin RP için çalıştığını gösterme girişiminin bir parçası olabilir. Bununla birlikte, olası bir yaklaşımı tanımlamaya, bunun ne anlama gelebileceğini ve üst ve alt sınırlar hakkında neden konuştuğumu açıklığa kavuşturayım:

Let a (Kolmogorov rastgele) dize. Let RP bir dille karşılık gelen belirli bir olasılık Turing makinası olmak. Çalışma ile rastgele bit kaynak olarak daha önce tüketilmemiş bit tüketmeye devam kez, birbiri ardına.$s$$A$$A$$s$$n$$s$

İçin , let ve p _- ^ s: = \ liminf_ {n \ ila \ infty} p_n ^ s . Gözlemleyin s _ + ^ lar ve p _- ^ lar iyi Belirli bir dize için tanımlanmıştır ler rastgele olmaz bile. Ancak, s'nin Kolmogorov rastgele olması durumunda p _ + ^ s = p _- ^ s veya iki rasgele Kolmogorov rasgele s_1 ve s_2 için p _- ^ {s_1} = p _- ^ {s_2} olup olmadığı merak edilebilir . Ya da orada olup olmadığını 1/2 p \ GEQ öyle ki p \ leq p _- ^ s herhangi Kolmogorov rastgele dize$p_n^s:=\frac{\text{#YES result in first $n$ runs of $A$ on $s$}}{n}$$p_+^s:=\limsup_{n\to\infty}p_n^s$$p_-^s:=\liminf_{n\to\infty}p_n^s$$p_+^s$$p_-^s$$s$$p_+^s=p_-^s$$s$$p_-^{s_1}=p_-^{s_2}$$s_1$$s_2$$p\geq 1/2$$p\leq p_-^s$$s$ .

Bence burada sorulan soru kabaca " bir algoritmada rastgele bitlerin sırasını, uygun şekilde uzun bir Kolmogorov rastgele dizesinden çizilen bitlerle değiştirebileceğimiz bir duygusu var mı? " Cevap! (Kısa cevap "Evet, ancak önce hata olasılığını artırırsanız")

Evet...

Burada kesinlikle bir şey söyleyebiliriz. Let bir dili ve izin giriş olarak alır, bir algoritma ve rasgele bir dizi (boyunca homojen dağılımı ) st . Başka bir deyişle, en çok olasılığı ile çalışan bir algoritmadır .$L$$A$$x$$r\in U_{f(|x|)}$$\{0,1\}^{f(|x|)}$$\Pr[A(x,r)=L(x)]>1-\epsilon(x)$$A$$\epsilon(\cdot)$

Şimdi yani yanlış cevap verirse, bu bize tanımlamanın bazı yollarını verdiğine dikkat edin , özellikle, bunu olarak tanımlayabiliriz - üzerinde hata yapmasına neden olan dizeBunu yapmak için, sadece kodlanmış olan makine yapmak , , , ve biraz ve sadece tercihlerini sıralar dan bulduğu kadar ve inci seçim , öyle ki .$A$$(x,r)$$A(x,r)\not=L(x)$$r$$i$$A$$x.$$x$$A$$i$$b=1\iff x\in L$$r'$$\{0,1\}^{f(|x|)}$$i$$r'$$A(x,r')\not= b$

Rastgele stringin kötü bir seçimi olarak kaldırabildiğimize göre artık tanımımızı bir sıkıştırmaya dönüştürmek için yeterli olan bazı koşulları gözlemleyelim . Açıklamak için , biz açıklamak için yeterli bit gerektirir , , , ve bizim prosedürü (kod için kod uzunlukta bir açıklaması olarak veren ve tarif edilen rutin),$r$$r$$x$$i$$b$$A$

Hatırlatma; uzunluğudur , bu sıkıştırma, böylece, ise örneğin, .$r$$f(|x|)$$r$

Son olarak, eğer bir Kolmogorov rastgele dize olsaydı , o zaman böyle bir sıkıştırmaya sahip olamayacağımızı gözlemleyin, hata olasılığı yeterince küçük olduğu sürece , rastgele bit dizisi yerine bir Kolmogorov rastgele dize cevap vermesine neden olur doğru şekilde!$r$$A$$A$

hakkında kullandığımız tek şeyin hata olasılığının düşük olduğuna dikkat edin. çok uzun bir çalışma süresine sahip olması veya bir veya iki taraflı hatası olması umrumda değil .$A$$A$$A$

Bunu (veya veya ) sorusuna geri , bu, algoritmalarımızın hata olasılığını sürece, rastgele bitleri yerine Kolmogorov rastgele dizelerini kullanabileceğimizi söylüyor.$RP$$coRP$$BPP$

... Ama sadece önce yükseltirsek.

Takip eden bir soru "bunu hata olasılığını yükseltmeden yapabilir miyim?" veren ve 1/2 hata olasılığı olan aşağıdaki algoritmasını göz önünde bulundurun .$A$$\{0,1\}^*$$1/2^n$

girişinde :$x$

• dizesi oluşturun$r\in\{0,1\}^n$
• Eğer , reddetme.$r=x$
• Kabul etmek.

Uyarı her seçim için bu , bazı seçenek öyle ki errs , yani seçenek o olan biz tarafından kullanılan bit rastgele sekans yerine, böylece yükseltme olmadan Kolmogorov rasgele dize hata olasılığı!$r$$x$$A$$x$$r$ $x$$A$

Kaynak hakkında bir not: Bunlardan herhangi birinin yeni olup olmadığından emin değilim, ancak kalifikasyon sınavım için yazımıma ilk argümanı ekledim ve bu da gözden geçirmeyi bitirdikten sonra çevrimiçi olacak.