Durma sorununun doğruluk tablolarının Kolmogorov karmaşıklığı asimptotik olarak biliniyor mu?

İzin Vermek $HALT_n$ uzunluk dizesini belirtmek $2^n$ uzunluk girişleri için durma probleminin doğruluk tablosuna karşılık gelen $n$.

Kolmogorov karmaşıklık sırası $K(HALT_n)$ idi $O(1)$, ardından tavsiye dizelerinden biri sonsuz sıklıkta kullanılır ve bu dizeye sahip sabit kodlu bir TM çözebilir $HALT$ muntazam sonsuz sıklıkta, biliyoruz ki durum böyle değil.

Köşegenleştirme argümanı daha yakından incelendiğinde, $K(HALT_n)$ en azından $n - \omega (1)$, bu yüzden önemsiz üst sınırla birlikte:

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

Bu alt sınır, Fortnow ve Santhanam'ın `` Tekdüzen Karmaşıklık Sınıfları için Yeni Düzgün Olmayan Alt Sınırlar '' makalesinde tanıtıldı ve bunu folkloru atfediyorlar. Temel olarak, tavsiye dizisi giriş uzunluğundan daha kısaysa, yine de en fazla bu miktarda tavsiye ile makinelere köşegenleştirebiliriz.

(Düzenleme: Aslında, makalenin folkloru atfettikleri önceki bir versiyonunda, sanırım şimdi sadece Hartmanis ve Stearns'ın bir uyarlaması olduğunu söylüyorlar.)

Aslında, bu makalede Zaman hiyerarşisi teoremleri ile ilgileniyorlar ve şeyleri bağlı bir kaynağa göre belirtiyorlar $t$Kolmogorov karmaşıklığından ziyade zaman adımları. Ancak, `` folklor '' sonucunun kanıtı, sınırsız durumda aynıdır.

Alt sınır tavsiyelerini önemsemelerinin nedenlerinden biri, `` sertlik ve rastgelelik '' paradigmasında devre alt sınırlarına ve derandomizasyona bağlı olmasıdır. Örneğin, kanonik problem zaman içinde çözülebilirse$2^n$ tavsiye gerektiren doğruluk tabloları vardır $2^{\epsilon n}$ zamanında hesaplanmak için $2^{\epsilon n}$, o zaman bu doğruluk tablolarının boyut devreleri yoktur $2^{\epsilon n}$ ya da $P = BPP$ Impagliazzo ve Wigderson'un ünlü bir sonucu.

Hakkında sorma $K(HALT_n)$bunun yerine böyle bir uygulama afaik yok, ancak çözümü daha kolay olabilir. Ayrıca, zamana bağlı bir parametreye herhangi bir bağımlılıktan yoksun olmak da daha kolaydır - zaten çalışılmış olabilecek oldukça doğal bir sorundur.

Üzerinde daha iyi alt veya üst sınırlar var mı $K(HALT_n)$`` folklor '' sonucunun yanı sıra biliniyor mu? Üst veya alt sınırlardan herhangi biri sıkı mı?

Not: Durdurma sorununun devre karmaşıklığı hakkında, Emil Jerabek tarafından tasvir edilen bir argümanla neredeyse en üst düzeyde görülebileceği başka bir güzel mesaj var: /mathpro/115275/non-uniform-complexity -of-kararsız-sorunu

Temel olarak, sınıf içindeki (büyük) devre karmaşıklığının sözlükbilimsel olarak ilk doğruluk tablosunu (rastgele erişimle) hesaplayabildiğimiz bir hile kullanır $E^{NP^{NP}}$. Ve bu hesaplamayı durma problemine yönelik bir sorguya indirgeyebiliriz ve bu azalma düşük devre karmaşıklığına sahiptir. Yani,$HALT$ büyük devre karmaşıklığına sahip olmalıdır - eğer değilse, bu fonksiyon da düşük karmaşıklığa sahip olacaktır.

İlişkili görünse de, bu argümanın $K(HALT_n)$. (Zaman sınırlı Kolmogorov karmaşıklığı olabilir$HALT$bağlı devre karmaşıklığı ile ima edildiği gibi büyük, ancak zaman kısıtlaması rahatladıkça karmaşıklık dramatik bir şekilde düşüyor. sözlükbilimsel olarak ilk sıkıştırılamayan dizeyi sorgular. Ancak, bir dizi uyarlamalı sorgu yapmalıyız ve bu doğrudan$HALT$bildiğim kadarıyla. Ayrıca, sorgu dizeleri katlanarak büyük afaik olmalıdır, bu nedenle yalnızca$HALT_{2^n}$ en azından karmaşıklığı var $2^n$ ve bu `` folklor '' argümanını yenmez.

Kolmogorov karmaşıklığındaki geçmişim maalesef oldukça zayıf $K(HALT_n)$başka bir argüman tarafından zaten biliniyor mu? Belki de Bilgi Simetrisi'ni kullanmanın bir hilesi var mı?

Ya da kaçırdığım daha iyi bir üst sınır var mı?

Tuhaf görünebilecek bir şey, $DTIME$ayarlandığında, yalnızca naif algoritmanın altındaki süreyi azalttığımızda bir alt sınır almayı bekliyoruz. Saf algoritmayı çalıştırmak için yeterli zamanınız olduğunda, açıkçası sıkıştırılabilir. Bu durumuda$K(HALT_n)$, hiçbir zaman bağlı değil, bu yüzden belki de düşmanla `` aynı '' süreye sahibiz ve maksimum derecede sıkıştırılamaz olmasını beklememeliyiz. Bununla birlikte, köşegenleştirme sınırsız ortamda da çalışır - herhangi bir makine için, o makine ile aynı şeyi yapan ve daha sonra başka bir şey yapan bir makine var gibi görünüyor, bu yüzden her zaman sizden daha fazla zamana sahip biri var. Yani belki de rakip her zaman bizden daha fazla zamana sahiptir ...

Hmm, aslında çok zor olmayan eşleşen bir üst sınır var:

Doğruluk tablosunu üretmek $HALT_n$ sınırlı bir süre içinde, gerekli olan tek bilgi, en fazla açıklama uzunluğu olan makine sayısıdır. $n$hangi durdu. Bu sayı şundan fazla değil:$2^{n}$, böylece hakkında temsil edilebilir $n$bit. Sonra tüm bu makineleri paralel olarak başlatabilir ve birçoğu duruncaya kadar çalıştırabiliriz ve geri kalanının durmadığı bilinir.

Yani, sanırım folklor argümanı sıkı. Sahibiz

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

ve $K(HALT_n)$ sadece katkı maddesine kadar iyi tanımlanmış $O(1)$ Neyse, evrensel Turing makinesi seçimimize bağlı olarak.

Dikkat: Sevimli bir bonus olarak, bu kanıt $n$- en fazla açıklama uzunluğu olan makine sayısına karşılık gelen bit dizesi $n$ hangi durma sıkıştırılamaz bir dizedir - sıkıştırılabilir olsaydı, buradaki üst sınır, alt sınırla çelişen daha sıkı olurdu.