“Dış sınır cinsi” grafiklerde sürekli treewidth var mı?

Let tarafından ve göstermektedirler cinsi bir yüzeyi üzerinde gömülebilir grafiklerin grubu bütün çıkıntılar bu şekilde dış yüzeyinde yer almaktadır . Örneğin, , dış düzlem grafik kümesidir. İçinde grafiklerin treewidth Can üst bazılarının fonksiyonu sınırlanmış olması ?G k k G 0 G k$k\in\mathbb{N}$$G_k$$k$$G_0$$G_k$$k$

Diğer yön açık değildir, çünkü sabit trewidth sabit cins anlamına bile gelmez: , in ayrık kopyalarının birleşimi olsun . H_n değeri sabit, cinsi . n K 3 , 3 H n$H_n$$n$$K_{3,3}$$H_n$$n$

Evet.

Dış yüzün ortasına, dış yüzdeki tüm köşelere bağlı bir tepe noktası ekleyin; bu cinsi değiştirmez ve trewidth'i azaltmaz. Şimdi grafik, yeni tepe noktasına dayanan çok sığ bir genişlik ilk arama ağacına sahip (her şey ona bitişik).

Çift kenarları genişlik ilk arama ağacının kenarlarından ayrık olan çift grafiğin genişleyen bir ağacını oluşturun. Sonra her iki ağaca ait olmayan bir dizi O (cins) kenar vardır. Bu kenarların her biri, genişlik ilk arama ağacındaki bir yolla birlikte kısa bir döngü (bir üçgen) indükler ve bu döngüler boyunca yüzeyin kesilmesi düzlemsel bir yüzey oluşturur (makaleme bakın "Topolojik olarak gömülü grafiklerin dinamik jeneratörleri"). Yani, G ', O (cins) kesik kenarların uç noktaları olmayan köşeler tarafından indüklenen giriş grafiğinin alt grafiğiyse, G' düzlemseldir ve köşeleri, O (cins) yüzleri ile kaplanabilir düzlemsel gömme (kesim çevrimlerinin orijinal dış yüzü kestiği yüzler).

Ancak, tüm köşelerin k yüzlerine ait olduğu düzlemsel bir grafikte, bir dış düzlem grafiği elde etmek için başka bir O (k) kenarı (yüzlerin yayılan ağacı) çıkarılabilir. Yani G 'nin üçlü genişliği O (cins)' dir. Bu genişliğe sahip bir G 'ağacı ayrışması oluşur ve daha sonra her torbaya kesme çevrimi kenarlarının uç noktaları olan köşeleri eklerse, sonuç treewidth O (cins) ile orijinal giriş grafiğinin ağaç ayrışması olur.

Bunun literatürde zaten bir yerde olması muhtemel görünüyor, ama nerede olduğunu bilmiyorum ve bazı hızlı aramalar bu kesin sonucun açık bir ifadesini bulmayı başaramadı. Bununla birlikte, daha genel bir ifade farklı bir makalemde yer almaktadır: "Küçük kapalı grafik ailelerde çap ve treidth" de Sınırlı çaplı sınırlı cins grafiklerin trewidth ile sınırlı olduğunu kanıtladım. Bu durumda (dış yüze ekstra tepe noktası ekleyerek) çap en fazla iki olarak alınabilir.