Adleman'ın sonsuz dönemlere ilişkin teoremi?

Adleman bu 1978'de göstermiştir boolean bir fonksiyonu ise: bir değişken boyutlu bir olasılık Boole devre ile hesaplanabilmektedir , daha sonra de deterministik hesaplanabilmektedir ve cinsinden polinom büyüklüğünde boole devresi ; aslında, boyutunda . $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$$f$$n$$M$$f$$M$$n$$O(nM)$

Genel Soru: hangi diğer (boole dışında) semirleri tutar? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Biraz daha spesifik olmak gerekirse, bir semiring üzerinde bir olasılıksal devre "ekleme" ve "çarpma '' işlemlerini geçit olarak kullanır Girdiler giriş değişkenleridir ve olasılık olarak ve değerlerini olasılıkla bağımsız olarak alan bir takım ek rastgele değişkenlerdir ; burada ve , sırasıyla, eşleştirmenin toplayıcı ve çarpımsal kimlikleri. Böyle bir devre belirli bir fonksiyonu hesaplar.$\mathsf{C}$$(S,+,\cdot,0,1)$$(+)$$(\cdot)$$x_1,\ldots,x_n$$0$$1$$1/2$$0$$1$$\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$Eğer her için , . $x\in S^n$$\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3$

Oy fonksiyonu ait değişkenleri, değeri kısmi fonksiyonudur elemanı ise fazla görünür arasında kez ve tanımlanmamış , böyle bir öğesi yoksa. Chernoff ve sendika sınırlarının basit bir uygulaması aşağıdakileri verir.$\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)$$m$$y$$y$$m/2$$y_1,\ldots,y_m$$y$

Çoğunluk Hüner: Olasılıksal bir devre sonlu bir küme dizisi fonksiyonunu hesaplarsa , gerçekleşmeleri arasında , öyle ki , tüm için de geçerlidir . $\mathsf{C}$$f:S^n\to S$$X\subseteq S^n$$m=O(\log|X|)$$C_1,\ldots,C_m$$\mathsf{C}$$f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))$$x\in X$

Boolean eşleştirme sırasında, oylama işlevi çoğunluk işlevidir ve küçük (hatta tekdüze) devreleri vardır. Adleman'ın teoremi alarak izler . $\mathrm{Maj}$$X=\{0,1\}^n$

Peki ya diğer (özellikle sonsuz) semirler? Ne hakkında aritmetik semiring (olağan ek ve çarpma)?$(\mathbb{N},+,\cdot,0,1)$

Soru 1: mu aritmetik semiring üzerinde tutma? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

"Evet" için bahse girsem de bunu gösteremem.

Yorum: Yazarların gerçek alanda iddiasında bulundukları bu makalenin farkındayım . Monoton olmayan aritmetik devrelerle ilgilenirler ve ayrıca (Theorem 4'te) oylama fonksiyonu çıkış kapısı olarak devreye gelirler . Peki bu -gate'i aritmetik bir devre ile nasıl simüle edebilir (monoton olsun ya da olmasın)? Yani Corollary 3'ü nasıl edinebilirim?$\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$$(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$$\mathrm{Maj}$$\mathrm{Maj}$

Aslında, Sergey Gashkov'un (Moskova Üniversitesi'nden) bana söylediği şu basit argüman bunun imkansız olduğunu gösteriyor (en azından sadece polinomları hesaplayabilen devreler için ). Diyelim ki bir polinom . Sonra , , , anlamına gelir ve , anlamına gelir . Bu, sıfır karakteristik alanlar üzerinde, polinom fonksiyonlarının eşitliği, katsayıların eşitliği anlamına gelir. Soru 1'de olasılıksal devrelerin aralığının ve dolayısıyla$\mathrm{Maj}(x,y,z)$$f(x,y,z)=ax+by+cz+ h(x,y,z)$$f(x,x,z)=x$$c=0$$f(x,y,x)=x$$b=0$$f(x,y,y)=y$$a=0$$\mathrm{Maj}$ -gate sonsuzdur . Bu nedenle, sadece aritmetik devre işlevleri işlem ile bağlantılı durulmuştur fikrine sahip , küçük sonlu aralıkları gibi, . O zaman gerçekten bir aritmetik devre ile hesaplanması kolaydır. Peki ya ? $f:\mathbb{R}^n\to Y$$Y$$Y=\{0,1\}$$\mathrm{Maj}:Y^m\to Y$$Y=\mathbb{R}$

Dinamik programlama bağlamında, özellikle ilginç olan tropikal min-plus ve max-plus semirings için aynı sorudur ve (\ mathbb {N} \ cup \ {- \ infty \}, \ max, +, - \ infty, 0) .$(\mathbb{N}\cup\{+\infty\}, \min, +, +\infty,0)$$(\mathbb{N}\cup\{-\infty\}, \max, +, -\infty,0)$

Soru 2: mu tropik semirings üzerinde tutuşu! $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Held , bu o rastgeleliğine olamaz hız-up sözde "saf" dinamik programlama algoritmaları anlamına gelecektir bu iki semirings içinde! Bu algoritmalar yinelemelerinde yalnızca Min / Maks ve Toplam işlemlerini kullanır; Bellman-Ford Floyd-Warshall, Held-Karp ve diğer birçok tanınmış DP algoritmaları vardır saf. $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Şimdiye kadar, sadece cevap verebilir Soru 2 (olumlu) altında tek taraflı biz ayrıca ihtiyaç hata senaryoda, dakika-üzerinde artı semiring (minimization) veya max-plus semiring (maksimizasyon) üzerinden . Yani, rasgele tropik devrenin asla optimum değerden daha iyi üretememesini istiyoruz; bununla birlikte, optimalden daha kötü değerler vererek hata yapabilir. Ancak sorularım iki taraflı hata senaryosunda.$\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) < f(x)]=0$$\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) > f(x)]=0$

Soru 2'nin hala açık olduğunu unutmayın: "saf Nullstellensatz" (en azından kullandığım formda) tropik semirlerde bulunmuyor.

Bu sadece genel sorunuza kısmi bir cevaptır (tamamen genel bir formülasyonun ne olacağından emin değilim), ancak sonlu bir alana rastgeleliği kısıtlarken yeterince güzel sonsuz yarılanmalar üzerinde çalışmanın aslında önemsiz olup olmadığı Adleman teoremi geçerlidir.

Diyelim ki karmaşık sayılar üzerinde çalışıyorsunuz , böylece devreler bu alandaki polinomları hesaplıyor ve işlevinin kendisinin değişkenlerinin bazı polinomları (ancak karmaşık) tarafından hesaplandığını varsayalım . Sonra bazı sabit , için zaten ortaya çıkıyor . Nedeni, her biri için olmasıdır , grubu ile bir Zariski kapalı alt kümesini belirler , ve bu yüzden, tüm olmalıdır veya sıfırın altında bir alt küme. Eğer bu setlerin hepsi sıfır ölçüsüne sahip olsaydı, o zaman, çünkü sadece çok sayıda$\mathbb{C}$$f$$x$$r$$C(x,r) = f(x)$$r$$x$$C(x,r) = f(x)$$\mathbb{C}^n$$\mathbb{C}^n$$r$dikkate alındığında, bulunduğu dizisi de sıfır ölçüsüne sahip olacaktır. Öte yandan, hesapladığı varsayımı, kümenin olması gerektiği anlamına gelir , bu nedenle sıfır ölçüsü olamaz.$x$$\exists r : C(x,r) = f(x)$$C$$f$$\mathbb{C}^n$