Kolmogorov karmaşıklığının hesaplanamazlığı Lawvere'in Sabit Nokta Teoreminden mi geliyor?

Birçok teorem ve "paradoks" - Cantor'un köşegenleştirilmesi, yumurtadan çıkma kararsızlığı, Kolmogorov karmaşıklığının farkedilemezliği, Gödel Eksikliği, Chaitin Eksikliği, Russell'ın paradoksu, vb. daha ziyade bu teoremleri gerçekten kullanmak hisseder; bütün Hamiltonieninin ispatlanabilir aynı daha fazla ayrıntı için, örneğin; köşegenleştirmeyi Yanofsky hesabına ya da çok daha kısa ve daha az resmiyet cevabım için bu soruya ).

Yukarıda bahsedilen soru üzerine bir yorumda, Sasho Nikolov bunların çoğunun Lawvere'in Sabit Nokta Teoreminin özel vakaları olduğuna dikkat çekti . Eğer hepsi özel davalar olsaydı, bu yukarıdaki fikri yakalamak için iyi bir yol olurdu: yukarıdakilerin hepsinin doğrudan sonuç olarak takip ettiği bir kanıtla (Lawvere) gerçekten bir sonuç olurdu.

Şimdi, Gödel'in eksiklik ve durdurulması sorunu ve onların arkadaşları karar verilemezlik için, bunların Lawvere en Sabit Nokta Teoremi dan takip ettiğini iyi bilinen (bakınız örneğin, buraya , buraya veya Yanofsky ). Ancak, altta yatan kanıtın bir şekilde "aynı" olmasına rağmen, Kolmogorov karmaşıklığının kararsızlığı için bunu nasıl yapacağımı hemen görmüyorum. Yani:

Kolmogorov karmaşıklığının kararsızlığı, Lawvere'in Sabit Nokta Teoreminin hızlı bir sonucu - ek köşegenleştirme gerektirmez - mi?

— Joshua Grochow
kaynak

Bu konu hakkında bildiğim her şeyin

— Sasho Nikolov

@MaxNew:

, bazı TM

tarafından hesaplanan hesaplanabilir bir fonksiyon olsun . Let

aşağıdaki TM be: Boş girişinde, onu bir bulana kadar bir seferde dizeleri tek geçmekte başlar

ile

ve çıkış

. Dikkat edin

sadece bazıları için

. Sonra herhangi bir

öyle ki

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

(herhangi bir yeterince büyük

olur), ya da böyle bir yoktur

(bu durumda,

ya da)

bazı verir

öyle ki

(inşaat tarafından), ancak gerçeği

çıkışı

ima

, yani

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— Joshua Grochow

@NealYoung: Benzer, ama bunlar soruma cevap vermiyor. Durma probleminden kurtulmak HALT'i hesaplanamazlığın "kaynağı" olarak alıyor ve sonra indirimler kullanıyor. Ancak (örneğin) yukarıdaki yorumlarda verdiğim kanıt, K-karmaşıklığını "hesaplanamazlığın kaynağı" olarak da alabileceğinizi gösteriyor, ancak HALT için olana çok benzer bir kanıtla. Bu benzer kanıtın teknik açıdan aynı olduğu gösterilebilir mi? (Bu durumda, hepsinin bana çok fazla azaltım türünden daha güçlü görünen Lawvere Teoreminin örnekleri olduğunu göstererek.

— Joshua Grochow

@NealYoung: Evet, Roger'ın sabit nokta teoremini genelleştirir. Ancak bunu sadece Roger'ın Teoremi olarak düşünürseniz, noktayı kaçırırsınız; Mesele şu ki Lawvere, Roger'ınkinden çok farklı kanıtların kanıt stratejisini yakalayacak kadar geneldir. Soruyla bağlantılı olan Yonofsky makalesi, Lawvere'nin kategori teorisinin korkutucu olabileceği insanlara dost olan Lawvere Teoreminin "kategori içermeyen" bir sergisi olarak düşünülmüştür.

— Joshua Grochow

Ayrıca bkz. Cstheory.stackexchange.com/a/2830

— András Salamon

DÜZENLEME: Roger'ın sabit nokta teoreminin Hukukçu için özel bir durum olmayabileceği uyarısını eklemek.

İşte "yakın" olabilecek bir kanıt ... Lawvere teoremi yerine Roger'ın sabit nokta teoremini kullanıyor. (Daha fazla tartışma için aşağıdaki yorum bölümüne bakın.)

Let dize Kolmogorov karmaşıklığı olmak . $K(x)$ $x$

lemma . hesaplanmaz $K$ .

Kanıt .

Diyelim ki hesaplanabilir olduğu çelişkisi . $K$
ile herhangi bir Turing Makinesi minimum kodlama uzunluğu olarak tanımlayın $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$ .
$c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ for all strings $x$ .
$f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$ .
Since $K$ is computable, so is $f$ .
$f$ has a fixed point, that is, there exists a Turing Machine $M_0$ such that $L(M_0) = L(M_0')$ where $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$ .
By the definition of $f$ in line 4, we have $L(M_0) = \{x\}$ such that $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$ .
Lines 3 and 7 imply $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$ .
But by the definition of $K'$ in line 2, $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$ , contradicting line 8.

— Neal Young
kaynak

As far as I know Roger's fixed-point theorem is not an instance of Lawvere's fixed-point theorem. It is a variant, though, because in the effective topos it reads as follows: if

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$ is a mutlivalued surjection then

A

$A$ has the fixed-point property. (Lawvere's theorem in the effective topos is: if

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$ is a surjection then

A

$A$ has the fixed-point property.)

— Andrej Bauer

Above my pay grade, @AndrejBauer -- I don't know category theory. Tried reading this and your answer here. Still don't get it. Can you tell me, in your comment above, for Rogers' theorem, what do you take for the function

f

$f$ (with type

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$ ), and what is

A

$A$ ? Or maybe suggest an appropriate tutorial?

— Neal Young

Slides 45 and 46 in math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (the good news is that now I have a definite plan and a deadline for writing up an extensive paper on synthetic computability).

— Andrej Bauer