Sınırlı genişlikte SAT günlük alanında karar verilebilir mi?

Elberfeld, Jakoby ve Tantau 2010 ( ECCC TR10-062 ) Bodlaender teoreminin alan açısından verimli bir versiyonunu kanıtladı. Bunlar en az treewidth ile grafikler için gösterdi , genişliği bir ağaç ayrışma logaritmik alan kullanılarak bulunabilir. Bağlı boşluktaki sabit faktör bağlıdır . (Bodlaender teoremi, sabit faktörde üstel bir bağımlılık ile doğrusal bir zaman bağlı gösterir .) $k$ $k$ $k$ $k$

Cümle kümesi düşük genişliğe sahip olduğunda SAT kolaylaşır. Spesifik olarak, Fischer, Makowsky ve Ravve 2008 tarafından sınırlanan sıklığı grafiğinin treewidth ile CNF formülden Gerçeklenebilirlik göstermiştir en ile karar verilebilir ağaç ayrışma verildiğinde aritmetik işlemler. Bodlaender teoremi ile sabit için insidans grafiğinin ağaç ayrışmasının hesaplanması lineer zamanda yapılabilir ve bu nedenle SAT, değişkenlerinin sayısında düşük dereceli bir polinom olan sınırlı üçlü genişlik formülleri için zaman içinde kararlaştırılabilir . $k$ $2^{O(k)} n$ $k$ $n$

Daha sonra, insidans grafiğinin sınırlı treidth sınırlı formüllere göre SAT'ın gerçekte logaritmik boşluk kullanılarak karar verilebilir olması beklenebilir. Fischer ve ark. alan tasarruflu bir şeye karar verme yaklaşımı. Algoritma, dahil etme-hariç tutma yoluyla çözümlerin sayısı için bir ifade hesaplayarak ve daha küçük formüllerin çözümlerinin sayısını tekrar tekrar değerlendirerek çalışır. Sınırlı trewidth yardımcı olsa da, alt formüller logaritmik alanda hesaplamak için çok büyük gibi görünmektedir.

Bu beni sormaya itiyor:

Sınırlı treewidth formülleri için SAT, veya olarak biliniyor mu? $\mathsf{L}$ $\mathsf{NL}$

— András Salamon
kaynak

Sınırlı trewidth örnekleri için L'deki SAT değerinin doğrudan alıntıladığınız makaledeki sonuçlardan kaynaklanmıyor mu? Memnun edilebilir formül seti MSO tarafından tanımlanabilir. Bu nedenle, satılabilirlik Bodlaender + Courcelle teoremleri aracılığıyla sınırlandırılmış üçlü genişlik grafiklerinde doğrusal zamanda çözülebilir. Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010, Bodlaender + Courcelle teoremlerinin logaritmik uzay versiyonlarını sağlayarak MSO özelliklerinin sınırlı treewidth grafiklerinde logaritmik alanda karar verilebileceğini göstermektedir. Bu nedenle, SAT sınırlandırılmış treidthth grafiklerde günlük alanında karar verilebilir.

— Mateus de Oliveira Oliveira

@MateusdeOliveiraOliveira, detaylar bana pek açık gelmiyor. SAT iki yönlü kenar ilişkisi olan bir yapı aracılığıyla MSO tarafından tanımlanabilir (Immerman Örnek 2.18), birleşme yönü unutulduktan sonra insidans grafiğinin kenarlarına yol açar. Bununla birlikte, Bodlaender / Courcelle / EJT'yi uygulayabilmek için insidans grafiğini MSO tanımlanabilir memnuniyetini (örneğin set kapağı aracılığıyla) olduğu gibi kullanmak mümkün değildir.

— András Salamon

@ AndrásSalomon Courcelle teoremi, renkli köşeleri ve kenarları olan grafikler için belirtilebilir. Bu tür renkli grafiklerin treidth'i, renksiz versiyonların treidth'i ile aynıdır. Rastgele ilişkisel yapıları renkli grafikler olarak modellemenin birçok yolu vardır.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Formüller söz konusu olduğunda, aynı zamanda formülü ve insidans grafiğini kodlayan ilişkisel bir yapı tanımlamak istersiniz. (aksi halde, ilk olarak tatmin edilebilirliği nasıl tanımlarsınız?) Sonra, bu tür bir yapı için uygun bir treewidth nosyonu kullanarak, yapının trewidth'inin (Formula + Incidence grafiği) en fazla sadece insidans grafiği. Bu tür birleşik ilişkisel yapıları tanımlamanın birçok yolu olduğunu ve aslında her yazarın bağlamı için en uygun olanı kullandığını unutmayın.

— Mateus de Oliveira Oliveira

@Mateus, teşekkür ederim! Bu oldukça yararlı bir yorum; Tanımlayıcı karmaşıklıkta treididitenin "araç kutusu" doğasının farkında değildim. Bunu bir cevaba dönüştürmek ister misiniz?

— András Salamon

Gerçekten de Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010'daki sonuçlar kullanılarak SAT'ın insidans grafiği treewidth'i sınırlayan formüllerde günlük alanında karar verilebileceği gösterilebilir. İşte bu iddianın ispatının ana adımlarının nasıl gittiğine dair bir taslak.

Ağaç ayrışması ve ağaç genişliği kavramları keyfi ilişkisel yapılara genelleştirilebilir. Örneğin Dalmau, Kolaitis ve Vardi'nin bu makalesinin 2. ve 3. bölümlerine bakınız .
Courcelle teoremi, MSO mantığının sabit treewidth ilişkisel yapıları üzerinde lineer zamanda karar verilebileceğini belirtir.
$t$ $f(t)\cdot n$
$\tau$ $F$ $I$ $\tau$ $I$
$\tau$
Bu nedenle, Bodlander + Courcelle teoremi ile sabit treidid formülünün doğrusal zamanda tatmin edilebilir olup olmadığına karar verilebilir.
Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010, "doğrusal zamanın" hem Bodlaender hem de Courcelle teoreminde "logaritmik alan" ile değiştirilebileceğini göstermektedir.
$\varphi$ $\tau$ $\tau$ $\varphi$
Özellikle SAT, sabit trewidth grafiklerde günlük alanında belirlenebilir.

— Mateus de Oliveira Oliveira
kaynak