Tipsiz λ-hesabında en içteki azalmalar kalıcı mıdır?

(Bunu MathOverflow'da zaten sordum, ama orada cevaplarım yok.)

Arka fon

Türlenmemiş lambda hesabı, bir terimin bir (örneğin son derece farklı sonuçlar doğurabilir azaltmak için hangi sayıda redexes ve farklı seçenekler de içerebilir ki burada bir adım ( -) veya kendisine indirgenir ). Nerede azaltılacağına ilişkin farklı (sıralı) seçimler azaltma stratejileri olarak adlandırılır . Bir dönem olduğu söylenir normalleştiren bir araya getiren bir azaltma stratejisi mevcutsa $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$ $\beta$ $y$ $t$ $t$ normal forma. Bir terim olduğu söylenir kuvvetle normale her azaltma stratejisi getirirse , normal forma. (Hangisi için endişelenmiyorum, ancak izdiham, birden fazla olasılık olamaz.) $t$ $t$

Bir azaltma stratejisi olduğu söylenir normalize (ve bazı anlamda mümkün olan en iyi olan) her ne zaman olursa normal bir forma sahiptir, o zaman biz bitireceğiz nerede. En soldaki strateji normalleşiyor. $t$

Spektrumun diğer ucunda, bir azaltma stratejisi olduğu söylenir daimi (ve bir anlamda en kötü mümkündür) bir terim gelen sonsuz indirgeme dizisi olduğu zaman ise , o zaman bir yöntem, bir dizi bulur - diğer bir deyişle, muhtemelen normalleştiremeyiz, o zaman yapacağız. $t$

I sürekli azaltma stratejilerinin bilmek ve sırasıyla verilen: $F_\infty$ $F_{bk}$ ve

\begin{array}{ll} F_{b k} (C [(λ x . s) t]) = C [s [t / x]] & if t is strongly normalizing \\ F_{b k} (C [(λ x . s) t]) = C [(λ x . s) F_{b k} (t)] & otherwise \end{array}

$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

(Her iki durumda da, belirtilen

-redeks,

-terimindeve normal formlardaensoldaki., indirgeme stratejileri zorunlu kimliği,) stratejisi

bile olanmaksimal- bir terim normalleri, o zaman bunun için bir mümkün olan en uzun indirgeme dizisi kullanmıştır. (Bkz. Örneğin Barendregt'in kitabında 13.4.)

\begin{array}{ll} F_{\infty} (C [(λ x . s) t]) = C [s [t / x]] & if x occurs in s, or if t is on normal form \\ F_{\infty} (C [(λ x . s) t]) = C [(λ x . s) F_{\infty} (t)] & otherwise \end{array}

$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

β

$\beta$

C [(λ x . s) t]

$C[(\lambda x.s)t]$

F_{\infty}

$F_\infty$

$\beta$

\begin{array}{ll} L (t) = t & if t on normal form \\ L (λ x . s) = λ x . L (s) & for s not on normal form \\ L (s t) = L (s) t & for s not on normal form \\ L (s t) = s L (t) & if s, but not t is on normal form \\ L ((λ x . s) t) = s [t / x] & if s, t both on normal form \end{array}

$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$

En soldaki en içteki indirgeme için doğal sezgi, tüm işi yapmasıdır - hiçbir redex kaybedilemez ve bu yüzden daimi olmalıdır. Karşılık gelen strateji (tiplenmemiş) kombine edici mantık için kalıcı olduğundan (tüm ortogonal TRW'ler için en içteki indirimler kalıcıdır), bu tamamen açılmamış mavi gözlü iyimserlik gibi hissetmez ...

$\lambda$

Cevabın 'hayır' olduğu ortaya çıkarsa, karşı örnek için bir işaretçi de çok ilginç olurdu.

— kow
kaynak

MO gelen Crosspost .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

... ilk satırda belirtildiği gibi.

— kow

@kow: Evet haklısın ve crossposting ile ilgili yanlış bir şey yok :) Bağlantı, çift cevaplamayı önlemek için MO'daki hem yorumları hem de cevapları takip etmenin faydası içindir. Meta ile ilgili tartışmaya bakın .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@kow: Bir dahaki sefere soru sormak için çapraz yazı koyduğunuzda, lütfen tercihen her iki yönde de bir bağlantı eklemeyi unutmayın.

— Tsuyoshi Ito

L (L (s) t)

$L(L(s)t)$

s

$s$

L (s)

$L(s)$

L (L (s))

$L(L(s))$

$tt$ $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ $L$

$L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$

ile ilk azaltma adımı $F_\infty$ $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$

— Radu GRIGaha fazla
kaynak