Ramsey teoreminin uzantıları: tek renkli ama çeşitli

Benim bir devamı olarak önceki soruya Hsien-Chih Chang tarafından çözüldü, burada Ramsey teoreminin uygun bir genelleme bulmak için başka bir girişimdir. (Önceki soruyu okumanıza gerek yok; bu yazı müstakildir.)

Parametreler: tamsayıları verilir ve sonra yeterince büyük olacak şekilde seçilir. Terminoloji: alt kümesi, boyutunun bir alt kümesidir .$1 \ll d \ll k \ll n$$N$$m$$m$

Let . Her biri için -subset , bir renk atamak .$B = \{1,2,...,N\}$$k$$S \subset B$$f(S) \in \{0,1\}$

Tanımlar:

• $X \subset B$ , tüm kümeleri ve için ise tek renkli olur .$f(S) = f(S')$$k$$S \subset X$$S' \subset X$
• $X \subset B$ olan çeşitli ise şekilde ve tüm i için .$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$$x_i < x_{i+1}$$x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$$i$

Örneğin, $d = 10$ , $\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$ çeşitlidir ancak $\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$ değildir. Farklı bir kümenin bir alt kümesinin mutlaka farklı olmadığını unutmayın.

Şimdi Ramsey teoremi, f'yi nasıl seçersek seçelim $f$, tek renkli bir n- alt küme X \ altkümesi B olduğunu$n$ söylüyor . Ve belli ki çeşitli bulmak için önemsiz n -subset X \ alt küme B .$X \subset B$$n$$X \subset B$

Soru: Her zaman olduğu farklı ve tek renkli $n$ -subset $X \subset B$ ?

Düzenleme: Hsien-Chih Chang iddia bir ana için yanlış olduğunu gösterir , ama bileşik hakkında ne ? Uygulamalarımda, keyfi olarak büyük yapabildiğim sürece , kesin değerlerini seçme özgürlüğüne sahip . Asal güçler, asal sayıların ürünleri ya da iddiayı gerçeğe dönüştürmek için gerekli olan her şey olabilir.$d$$d$$d \ll k \ll n$

Öncelikle şunu söylemeliyim: bu problem gerçekten ilginç !! Ve burada kısaca bu cevaplarda yanlış cevaplar hakkında önerildiği gibi önceki yaklaşımlarımın neden başarısız olduğunu açıklıyorum .

• İlk denemem, tüm n-alt kümelerini tek renkli olmayan k-alt kümesinin toplamıyla ilgili bir renklendirme yapmaya çalışmaktı. Lemma 1 hala mevcuttur; ancak Lemma 2 yanlıştı, eğer k ve d ilgili @Jukka tarafından önerilen modül d'de bir n-alt kümesinin bir karşı örnek olduğunu gözlemleyerek yanlıştı.$\{1,3,1,3, \ldots\}$

• İkinci deneme teorem için bir kanıttı; Farklı ve monokromatik kümelerinin oranını sayarak, tek renkli olanların sayısının farklı olmayanlardan daha fazla olacağını umuyoruz. Ancak bu, @domotorp tarafından gözlemlenen hesaplamalarımdaki bir hatadır: farklı olmama oranı sıfıra yaklaşmayacaktır; den açıkça daha büyük olan yaklaşık ye yakınsar .$n$$n/d$$R(n,n;k)^{-n}$

• Üçüncüsü ilk yönteme geri döner ve uber-zayıf parametre seti için ( ve ) teoremin yanlış olduğunu gösterir. Katkı kombinatoriklerinde ünlü bir lemma kullandık: EGZ teoremi.$n > k+d-1$$d \mid k$

Dördüncü deneyin kaynaklanmaktadır cevap @domotorp tarafından; hem akıllı hem de ilham verici ve tüm parametrelerle başa çıkmak için kanıtını değiştirmeye çalışacağım. Ama yine de yöntemi zarif ve bu basit yaklaşımı tamamen takdir ediyorum.

Farklı bir n-grubu, en az bir k-alt kümesi içerir ve en az "mod sınıfları arasında geçiş yapar"; tam olarak, farklı bir n-set olsun ve , ve farklı mod- ise bir anahtar tanımlanır sınıflar. için k-1 anahtarlarımız var .$k-1$$X = x_1,\ldots,x_n$$S^* = x_1,\ldots,x_k$$x_i$$x_{i+1}$$S^*$

Bir k-alt kümesi olsun edilecek kırmızı ise en k-2-anahtarlarında vardır; aksi takdirde mavidir . Önceki paragrafta zaten mavi bir tane vardı, şimdi , herhangi bir n-set kırmızı bir olduğunu kanıtlıyoruz . Bu yana , iki sayı vardır aynı MOS-D sınıfı ve ; ve o zamandan beri , en az k-2 unsurları vardır olarak ile ya da . Ve ile bir k-altkümesi oluşturabiliriz$S$$S$$n > k+d+1$$S$$X$$n > d$$x_i,x_j$$j-i \leq d-1$$n > k+d+1$$x_k$$X$$k<i$$k>j$$S$$x_i$yalnızca en fazla k-2 kez geçiş yapan yanında . Dolayısıyla kırmızı bir k-altkümesidir.$x_j$$S$

Sorunuzu yanlış anlamış olabilirim, ancak değilse yanlış olduğunu düşünüyorum. Üyeleri hepsi uyumlu modulo olan k-kümelerini kırmızı, diğer k kümelerini mavi ile renklendirin. Eğer n> kd ise, herhangi bir n-seti, üyeleri uyumlu modülod olan ve bu nedenle kırmızı olan bir k-seti içermelidir. Öte yandan, bir k-seti, farklı bir n-setinin iki ardışık elemanını içeriyorsa, o zaman mavidir.