Sonlu kod için tanıyan otomatik veriler

Let sonlu alfabe olacak. Bir kod üzerinde bir alt kümesidir , öyle ki her bir kelime benzersiz bir sözcük birleştirme olarak temsil edilebilir . Bir kod ise sonlu isesonludur. Sonlu bir kod için tanıyan (minimum) otomata hakkında ne bilinir ? Bu tür otomataların herhangi bir karakterizasyonu var mı ( bilmeden otomatın yapısı açısından )? Böyle bir otomatiğe sahip olmak, kodunu polinom zamanda çıkarmak mümkün mü ? $\Sigma$ $X$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $X^*$ $X$ $X$ $|X|$ $X^*$ $X$ $X$ $X$

bir kod olduğu gerçeğini atladığımızda , yani sadece sonlu bir kelime kümesi olduğunu varsayalım . $X$ $X$

automata-theory

— Andrew Ryzhikov
kaynak

Bu otomata hakkında ne bilmek istersiniz? Boyutu kolayca karakterize edilebilen için bir DFA oluşturmak kolay görünüyor (temel olarak dizelerin benzersiz öneklerinin sayısıdır ve bu nedenle en çok kelimelerin uzunluklarının toplamıdır ; özellikle , polinom boyutudur). Böyle bir DFA göz önüne alındığında , başlangıç düğümünden kendisine tüm döngüleri numaralandırarak kod sözcüklerini çıkarmak da kolaydır . Sorularınız özellikle nedir? Zaten ne düşünüyorsun? Yardım merkezimizin "Sorular şunlara dayanmalıdır ..." bölümüne bakın .

X^{*}

$X^*$

X

$X$

X

$X$

X

$X$

— DW

@DW, açıkçası, tüm otomataların bu özelliği yoktur. Bu yüzden böyle bir otomata'nın (umarım polinom) bir karakterizasyonu olup olmadığını soruyorum. Ayrıca, başlangıçtaki durumdan kendine tüm döngüleri numaralandırarak nasıl çıkarılacağını göremiyorum . Aslında, sadece kendi kendine kesişme olmayan döngülerle sınırlayamadığımız için sonsuz sayıda döngü olabilir. Lütfen daha spesifik olabilir misiniz?

X

$X$

— Andrew

Doğru anlarsam, minimum otomata sormuştunuz. Bence tüm minimal DFA'lar tarif ettiğim izomorfik olacak. Mutlaka minimum olmayan tüm otomataları soruyorsanız, açıklığa kavuşturmak için soruyu düzenlemenizi öneririz. Neden sadece kendi arakesitleri olmayan döngülerle sınırlanamayacağınızı anlamıyorum; önek içermeyen özellik, bunun güvenli olduğu anlamına gelir ve sonluysa, bu tür döngülerin yalnızca sonlu olarak çok sayıda olması gerekir. Sorunu bir süre düşünmenizi ve ardından şu ana kadar elde edebileceğiniz tüm sonuçları paylaşmak için soruyu düzenlemenizi öneririz.

X

$X$

— DW

Bu soru cstheory.stackexchange.com/questions/4284/… ' ın ilk sürümü ile aynı değil , burada

K

$K$ ve

K^{'}

$K'$ Ayrıca çalışma süresi için sormak dışında, farklı olabilir?

— domotorp

@domotorp Haklısınız, bir dizi kelimenin bir kod olup olmadığını kontrol etmek polinom zamanında yapılabilir ve oldukça iyi bilinen bir gerçektir (bkz. örn. www-igm.univ-mlv.fr/~berstel/LivreCodes/ Kodlar.html , alt bölüm 0.4). Ne istediğim, bir şey tanımak sadece minimal bir otomat sahip, bu bir şey bir kod yıldızı olup olmadığını kontrol edin.

— Andrew Ryzhikov

Bu soru uzun süre cevap alamadığından, sorunun ilk kısmına kısmi bir cevap vereyim:

(Minimum) otomata tanıma hakkında bilinenler $X^∗$ sonlu bir kod için $X$ ?

Sonlu bir kelime kümesi verildi $X$ , Çiçek otomat arasında $X^*$ sonlu belirsiz olmayan otomat $\mathcal{A} = (Q, A, E, I, F)$ , nerede $Q = \{1, 1\} \cup \{ (u, v) \in A^+ \times A^+ \mid uv \in X \}$ , $I = F = \{(1,1)\}$ , dört geçiş türü ile:

\begin{aligned} (u, a v) & \overset{a}{⟶} (u a, v) such that u a v \in X, (u, v) \neq (1, 1) \\ (u, a) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that u a \in X, u \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (a, v) such that a v \in X, v \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that a \in X} \end{aligned}

$\begin{align*} (u, av) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (ua, v) \text{ such that } uav \in X,\ (u, v) \neq (1,1) \\ (u, a) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } ua \in X,\ u \neq 1 \\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace(a, v) \text{ such that } av \in X,\ v \neq 1\\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } a \in X \bigr\} \end{align*}$ Bu otomatın tanıdığını görmek kolaydır

X^{*}

$X^*$ . Örneğin,

A = {a, b}

$A= \{a, b\}$ ve

X = {a, b a, a a b, a b a}

$X = \{a, ba, aab, aba\}$ , çiçek otomatı

X^{*}

$X^*$ takip ediliyor

$\qquad\qquad\qquad$

İki durum göz önüne alındığında bir otomasyonun açık olduğunu hatırlayın $p$ ve $q$ ve bir kelime $w$ , en fazla bir yol var $p$ için $q$ etiketli $w$ . Sonra aşağıdaki sonuç geçerlidir:

Teorem [1, Thm 4.2.2]. Set $X$ çiçek otomatının bir kodudur $X^*$ açık.

Çiçek otomatı aynı zamanda minimal otomatına nispeten yakın bir cebirsel özelliğe sahiptir. Bu özellik sonlu kümeler için geçerlidir $X$ , ancak boş kelimeden kurtularak, yani bir dili bir alt kümesi olarak düşünerek belirtmek daha kolaydır $A^+$ onun yerine $A^*$ .

Sonlu bir yarıgrup olduğunu hatırlayın $R$ olduğu lokal önemsiz her İdempotent için, eğer $e \in R$ , $eRe = \{e\}$ . Bir morfizm $\pi:R \to S$ olduğu lokal önemsiz her İdempotent için ise $e$ içinde $S$ , yarıgrup $\pi^{-1}(e)$ yerel önemsizdir.

Geçiş yarı grubu $T$ çiçek otomatı $X^+$ denir çiçek yarıgrubudur arasında $X^+$ . Dan beri $T$ tanır $L^+$ , nesnel bir morfizm var $\pi$ itibaren $T$ sözdizimsel yarı gruba $S$ nın-nin $X^+$ .

Teorem . Morfizm $\pi:T \to S$ yerel önemsizdir.

Bu sonucun önemli bir sonucu, çiçek yarı grubunun ve sözdizimsel yarı grubun aynı sayıda düzenli $\mathcal{J}$ -ders anahtar kelimesini.

Referanslar

[ 1 ] J. Berstel, D. Perrin, C. Reutenauer, Kodlar ve Otomata . Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları, 129. Cambridge University Press, Cambridge, 2010. xiv + 619 s. ISBN: 978-0-521-88831-8

— J.-E. Toplu iğne
kaynak