Açık dengeli matris

Her N ^ {0.499} \ times N ^ {0.499} alt matrisinin N ^ {0.501} ' den daha az içereceği şekilde N ^ {1.5} olanlarla açık bir 0/1 matrisi oluşturmak mümkün müdür ?0 / 1 N , 1.5 K 0.499 × K 0.499 K $N \times N$ $0/1$$N^{1.5}$$N^{0.499} \times N^{0.499}$$N^{0.501}$

Ya da muhtemelen böyle bir mülk için açık bir isabet seti oluşturmak mümkündür.

Rastgele matrisin 1'e yakın bir olasılıkla bu özelliğe sahip olduğunu görmek kolaydır $1$. Ayrıca, genişletici karıştırma lemması bu özelliği elde etmek için yeterli değildir.

Kombinatoryal dikdörtgenleri kandıracak yalancı jeneratörlerin burada yardımcı olabileceğini düşünüyorum, ancak tekdüze dağılımlar için tasarlanmışlar ve temelde burada $B(N^2, N^{-0.5})$ var.

Aradığınız, iki bağımsız kaynak için tek bitlik bir çıkarıcıdır: işlevi , böylece X, Y, min ile rastgele değişkenlerdir -entropi 0.499 * log (N), E (X, Y) neredeyse dengelidir.$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

Kötü şöhretli zor bir sorun. İstediğiniz parametreler için Bourgain tarafından çözüldüğüne inanıyorum. Buraya bakın: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

Bu cevap, yukarıdaki cevabında Dana fikrine dayanmaktadır.

İki kaynaklı kayıplı kondansatörler kullanarak böyle bir matris oluşturabileceğinizi düşünüyorum. düzeltin ve deyin . Eğer açık bir fonksiyonu olduğunu varsayalım her iki bağımsız rastgele kaynaklarını alır , uzunluk, her en azından sahip olan ve en az-entropi ve çıkışlar en az min-entropi ile bir dağılıma -plose olan bit dizisi . rastgele bir fonksiyonun bu özellikleri (ezici bir olasılıkla) karşıladığını göstermek için standart olasılık argümanlarını kullanabileceğinizi düşünüyorum.$\delta = 0.001$$N=2^n$$f(x,y)$$(X, Y)$$n$$k = n(1/2 - \delta)$$n' = n/2$$\epsilon$$k'=n(1/2-3\delta)$$2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$. Olasılıksal argümana, kayıpsız kondenserler ve daha genel iletkenler için aşağıdaki makalede kullanılanlara benzer olmalıdır:

Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Rasgele İletkenler ve Derecenin Ötesinde Sabit Derecede Genişleme / 2 Bariyer

Bizim durumumuzda ayarladık , bu yüzden ihtiyacımız olan fonksiyonun varlığından eminiz. Şimdi, bir ortalama argümanı, ile sayısının en az olacağı şekilde bir bit biti olduğunu göstermektedir . Böyle bir bildiğinizi varsayalım ve düzeltin ( eğer fonksiyonunuzun tam olarak eşit dağılımını -seçme-eşit olan bir dağılımla eşlediğini biliyorsanız, herhangi bir rastgele seçebilirsiniz ). Şimdi olasılıkları ile matrisinin girişlerini tanımlamak ve bir koymak$\epsilon = 2^{-k'}$$n'$$z$$(x,y)$$f(x,y)=z$$2^{1.5 n}$$z$$z$$O(2^{-n/2})$$N \times N$$(x,y)$$1$pozisyonda ancak ve ancak . seçimimize göre , bu matris en az olana sahiptir.$(x,y)$$f(x,y)=z$$z$$2^{1.5n}$

Şimdi herhangi bir matrisini alın ve seçilen satırlar ve sütunlar üzerinde tekdüze dağılımlar olmasına izin verin . F'nin seçimiyle, nin min-entropi sahip olmak için -close olduğunu biliyoruz . Bu nedenle, alt matrisin düzgün rasgele bir girişini seçersek, sahip olma olasılığı en fazla . Bu , alt matriste istediğiniz gibi en fazla bulunduğunuz anlamına gelir. X , Y f f ( X , Y ) ϵ k ′ 1 2 - k ′ + ϵ ≤ 2 - k ′ + 1 2 2 k - k ′ + 1 = O ( 2 n / 2 + δ$2^k \times 2^k$$X, Y$$f$$f(X,Y)$$\epsilon$$k'$$1$$2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$$2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

Tabii ki istenen parametrelerle (özellikle, neredeyse optimal çıkış uzunluğu) açık bir çok zor bir iştir ve şu ana kadar bilinen bir işlev yoktur.$f$