Sonlu bir daire kümesini çevreleyen en küçük daireyi hesaplama

Biz sonlu bir dizi olduğunu varsayalım $L$ disklerden $\mathbb{R}^2$ ve biz en küçük diski hesaplamak isteyen $D$ için $\bigcup L\subseteq D$ . Bunu yapmak için, standart bir şekilde bir baz bulmak için Matoušek, Sharir ve Welzl [1] algoritmasını kullanmak $B$ ve $L$ ve izin $D=\langle B\rangle$ , küçük disk içeren $\bigcup B$ . Disk $\langle B\rangle$ cebirsel beri gerçeğini kullanarak hesaplanabilir $B$ temeli olan her diskin $B$ teğet olduğu $\langle B\rangle$ .

( $B\subseteq L$ a, baz ve $L$ ise $B$ az olduğu şekilde $\langle B\rangle=\langle L\rangle$ bir baz en fazla üç öğe içerir;. Topları için genel olarak $\mathbb{R}^d$ baz en sahiptir $d+1$ . Elemanları)

Aşağıdaki gibi rastgele bir özyinelemeli algoritmadır. (Ancak, anlaşılması daha kolay olabilecek yinelemeli bir sürüm için aşağıya bakın.)

Prosedür : giriş : diskler sonlu setleri L , B , B (bir temeli olan B ).$MSW(L, B)$
$L$$B$$B$$B$

1. Eğer dönüş B .$L=\varnothing$$B$
2. Aksi takdirde rastgele seçin .$X\in L$
3. Let .$B'\leftarrow MSW(L-\{X\}, B)$
4. Eğer sonra dönmek B ' .$X\subseteq\langle B'\rangle$$B'$
5. Aksi takdirde geri , B " bir temeli olan B ' ∪ { X } .$MSW(L, B'')$$B''$$B'\cup\{X\}$

Olarak kullanılır bir temel hesaplamak için L .$MSW(L, \varnothing)$$L$

Son zamanlarda bu algoritmayı uygulamak için nedenim vardı. Rastgele oluşturulmuş milyonlarca test vakasında sonuçların doğru olduğunu doğruladıktan sonra, uygulamada bir hata yaptığımı fark ettim. Son adımda, bir dönen yerine M S W ( L , B " ) .$MSW(L-\{X\}, B'')$$MSW(L, B'')$

Bu hataya rağmen algoritma doğru cevapları veriyordu.

Eklendi: bazı yanlış anlamalar

Birkaç kişi, değiştirilmiş algoritmanın önemsiz derecede doğru olduğu konusunda yanlış argümanlar önermiştir, bu nedenle burada bazı yanlış anlamaların önlenmesi yararlı olabilir. Bir popüler yanlış inanış gibi görünüyor . İşte bu iddia için bir karşı örnek. Diskleri göz önüne alındığında , bir , b , c , d , e (sınır aşağıdaki gibi ⟨ bir , B , E ⟩ da kırmızı renkte gösterilmiştir):$B\subseteq\langle MSW(L, B)\rangle$$a,b,c,d,e$$\langle a,b,e\rangle$

Elimizdeki olabilir ; ve not bu e ∉ ⟨ c , d ⟩ :$MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})=\{c,d\}$$e\notin\langle c,d\rangle$

İşte böyle olabilir. İlk gözlem ise :$MSW(\{c\},\{a,b,e\})=\{b,c\}$

• Biz hesaplamak isteyen $MSW(\{c\},\{a,b,e\})$
• X = c'yi seçin$X = c$
• Let $B' = MSW(\varnothing, \{a,b,e\}) = \{a,b,e\}$
• Gözlemleyin $X\notin\langle B'\rangle$
• Öyleyse B ′ ∪ { X } = { a , b , c , e } 'nin temeli $B''$$B'\cup\{X\} = \{a,b,c,e\}$
• Gözlemleyin $B''=\{b,c\}$
• Dönüş olup, { b , c $MSW(\{c\}, \{b,c\})$$\{b,c\}$

Now consider $MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})$.

• We wish to compute $MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})$
• Choose $X=d$
• $B' = MSW(\{c\}, \{a,b,e\}) = \{b,c\}$
• Observe that $X\notin\langle B'\rangle$
• Öyleyse bırak $B''$ be a basis of $B'\cup\{X\} = \{b,c,d\}$
• Observe that $B''=\{c,d\}$
• $MSW(\{c,d\}, \{c,d\})$$\{c,d\}$

(Kesin olmak adına disklerinin olduğunu söyleyelim.$a,b,c,d,e$$(30,5)$, $(30,35)$, $(10, 5)$, $(60, 26)$, and $(5, 26)$ respectively.)

Added: an iterative presentation

It may be easier to think about an iterative presentation of the algorithm. I certainly find it easier to visualise its behaviour.

Input: A list $L$ of disks
Output: A basis of $L$

1. Let $B\leftarrow\varnothing$.
2. Shuffle $L$ randomly.
3. For each $X$ in $L$:
4.   If $X\notin\langle B\rangle$:
5.     Let $B$ be a basis of $B\cup\{X\}$.
6.     Go back to step 2.
7. Return $B$.

The reason the algorithm terminates, incidentally, is that step 5 always increases the radius of $\langle B\rangle$ – and there are only finitely many possible values of $B$.

The modified version doesn’t have such a simple iterative presentation, as far as I can see. (I tried to give one in the previous edit to this post, but it was wrong – and gave incorrect results.)

Reference

[1] Jiří Matoušek, Micha Sharir, and Emo Welzl. A subexponential bound for linear programming. Algorithmica, 16(4-5):498–516, 1996.

This step of removing $X$ from $L$ before continuing recursion actually improves the algorithm, because it removes the already-added $X$ from the pool of basis candidates. It will always, provably work, because it's equivalent to the existing algorithm, and it will also work for higher dimensions.

Trace through the algorithm. When you use $MSW(L,B^{\prime\prime})$, there is $X \in L$ and $X \in B^{\prime\prime}$. Suppose we chose it again in step 2. Regardless of the result of step 3, $B^\prime$ will always have $X$, because the recursive function has the invariant $B \subseteq MSW(L,B)$.

In other words, your improvement to the algorithm shortcuts to step 3 in the part where $X$ is chosen.