Hangi 2P1R Oyunları Potansiyel Olarak Keskin?

İki aşamalı tek yönlü (2P1R) oyunlar, yaklaşık sertlik için önemli bir araçtır. Özellikle, iki aşamalı tek aşamalı oyunların paralel tekrarı, bir yaklaşım probleminin karar versiyonundaki bir boşluğun boyutunu arttırmak için bir yol sağlar. Konuya genel bakış için Ran Raz'ın CCC 2010'daki anket konuşmasına bakın .

Bir oyunun paralel tekrarı, rastgele bir doğrulayıcı bağımsız olarak çalışırken, iki oyuncunun oyunları bağımsız olmayan bir şekilde oynayabildiği ve her oyunu bağımsız olarak oynamaktan daha iyi bir başarı elde edebileceği şaşırtıcı bir özelliğe sahiptir. Başarı miktarı, Raz'in paralel tekrarlama teoremi ile sınırlıdır:

Teorem : Evrensel bir sabit $c$ böylece 1 - ϵ değeri ve cevap boyutu s olan her 2P1R oyunu $G$ için , paralel n tekrarlama oyunu G n'nin değeri en fazla ( 1 - ϵ c ) Ω ( n / s ) olur .$1-\epsilon$$s$$G^n$$(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$

İşte bu sabit tanımlama çalışmasıyla ilgili bir özet $c$:

• Raz'ın orijinal makalesinde kanıtlandı $c \leq 32$.
• Holenstein bunu yükseltti$c \leq 3$ .
• Rao gösterdi $c' \leq 2$ yeterli (ve bağımlılık $s$ projeksiyon oyunları özel durum için kaldırılır).
• Raz , Rao'nun sonucunun projeksiyon oyunları için keskin olduğunu gösteren garip döngü oyunu için bir strateji verdi.

Bu çalışma organı ile biliyoruz ki $2 \leq c\leq 3$ . İki sorum şu:

Soru 1: Bu alandaki uzmanların kesin değeri konusunda fikir birliği var $c$mı?

olduğu düşünülüyorsa, $c > 2$projektif olmayan ancak Rao'nun ispatının gerektirdiği projeksiyon oyunlarının ekstra özelliklerini ihlal eden belirli oyunlar var mı.

$c > 2$

Kendi okumamdan, Rao'nın kullandığı projeksiyon oyunlarının en önemli özelliği, paralel tekrarlama için iyi bir stratejinin belirli sorular için olası cevapların çoğunu kullanmayacağıdır. Bu bir şekilde projeksiyon oyunlarının yerleşim yeri ile ilgilidir.

Genel durum için c = 3'ün doğru cevap olduğuna ve bir örnek vermenin mümkün olduğuna inanıyorum. Kesin olarak bilmek için bunun hakkında daha fazla düşünmem gerekecek. Bu iyi bir soru ve bununla ilgili mevcut çalışmaları bilmiyorum.

Son zamanlarda yapılan araştırmalar, çoğunlukla benzersiz oyunların amplifikasyonuna yönelik olası uygulamalar nedeniyle hangi oyun türlerine (mümkün olan en iyi) c = 1'e odaklandı.

• Barak ve arkadaşları Raz'ın karşı örneğini SDP boşlukları olan tüm benzersiz oyunlarda genelleştirdi.
• Raz ve Rosen, projeksiyon oyunlarını genişletmek için c = 1 olduğunu gösterdi. Ayrıca ücretsiz oyunlar için bu yazarların süper setinin daha önceki sonuçları da var.

İşlerin ilerlemesini sağlamak için potansiyel bir oyunum var ve geri bildirim istiyorum.

$k \geq 2$$m$$3k+1$$m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$ ve sayıları boyama ardışık her bir grubu için, bu sırayla , tam sayıların bir uçurum oluştur. Yana bir katı değil , bu renklendirme başarısız bir noktada olacaktır.$\{0,\dots,m-1\}$$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

Doğrulayıcı, renklerin eşleştiğini doğrulamak için her iki oynatıcıdan tek bir tepe noktası ister ya da renklerin farklı olduğunu doğrulamak için bir kenar ister.

Bunun iki nedenden dolayı iyi bir örnek olduğuna inanıyorum:

1. Raz'ın alt sınırına benzer bir strateji geliştirilebilecek tek çevrim oyununa yeterince benziyor. Bu stratejinin önemli bir kısmı, paylaşılan rasgelelik kullanarak tekrarlar arasında rastgele renk seçmektir.

2. Rastgele üretilen renklendirmelerde kullanılan permütasyonları rasgele ayırarak, her bir tepe noktasında verilen cevapların sayısı, Rao'nun stratejisine saldırarak tüm cevap setini eşit bir şekilde kapsar.

Bu oyun zaten düşünüldü / çözüldü mü?