LP'lerin minimum maksimum çözümleri

12

Doğrusal programlama, elbette, günümüzde çok iyi anlaşılmıştır. Uygulanabilir çözümlerin yapısını ve en uygun çözümlerin yapısını karakterize eden çok işimiz var. Güçlü ikiliğe, çoklu zaman algoritmalarına, vb. Sahibiz.

Peki LP'lerin minimum maksimum çözümleri hakkında bilinenler nelerdir? Veya aynı şekilde maksimum minimal çözümler mi?

(Bu gerçekten bir araştırma sorusu değil, ama belki de tatil için daha az teknik bir şey alabiliriz. Sadece merak ediyorum ve bazı googling'den sonra doğru anahtar kelimeleri kaçırmam gerektiğini hissettim. ama problemden bahseden bazı düzensiz makaleler buldum.)

İşleri basitleştirmek için LP'leri paketleme ve kaplamaya odaklanalım . Bir ambalaj LP'sinde negatif olmayan bir matrisi verilir . Bir vektör ise mümkün ise ve . Biz söylemek olan maksimal bunun mümkün olduğunu ve açgözlülükle herhangi bir bileşenini artırmaz eğer. Yani, ve , mümkün değildir. Ve son olarak, bir $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ asgari azami çözüm, eğer tüm azami çözümler arasında function objektif fonksiyonunu en aza . $\sum_i x_i$

( Bir örtücü LP'nin maksimum minimal bir çözümünü benzer bir şekilde tanımlayabilirsiniz .)

Minimum maksimum çözümlerin alanı neye benziyor? Bu tür çözümleri nasıl bulabiliriz? Bu tür çözümler bulmak ne kadar zor? Bu tür çözümlere nasıl yaklaşabiliriz? Kim böyle şeyler okuyor ve bunun için doğru terim nedir?

Bu sorular başlangıçta kenar hakim kümeleri ve minimum maksimum eşleşmelerle motive edildi . Minimum maksimum eşleşmenin minimum kenar hakim küme olduğu iyi bilinmektedir (ve görmesi oldukça kolaydır); tersine, minimum kenar hakim seti verildiğinde, minimum maksimum eşleştirme oluşturmak kolaydır.

Yani özünde aynı problem. Her iki problem de NP-zor ve APX-zor. Önemsiz bir 2 yaklaşım algoritması vardır: herhangi bir maksimum eşleme.

Ancak, "doğal" LP gevşemeleri çok farklı görünüyor. Kenar hakimiyet seti problemini alır ve doğal bir LP gevşemesi oluşturursanız, bir örtücü LP alırsınız. Ancak, minimum maksimum eşleşme bulma problemini alır ve bir LP gevşemesi bulmaya çalışırsanız, ne elde edersiniz? Tabii ki, kesirli eşleşmeler bir ambalaj LP'sinin uygulanabilir çözümleridir; bu durumda azami fraksiyonel eşleşmeler bu tür LP'lerin azami çözeltileridir ve bu nedenle asgari azami fraksiyonel eşleşmeler bu tür LP'lerin minimum azami çözeltileridir. :)

— Jukka Suomela
kaynak

3

"Herhangi bir bileşeni açgözlülükle artıramayız" olarak tanımlamanız Nash Dengesi'ne çok benziyor. Burada oyun teorisine gizli bir bağlantı var mı?

— Derrick Stolee

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

A x = 1

$Ax = 1$

Minimax özelliğinin objektif fonksiyonda olduğu darboğaz doğrusal programlarını biliyor musunuz ?

— Mike Spivey

11

Azami ve azınlık: Bunlar Pareto'nun en iyiliği.
Karmaşıklık: Bence minimum bir maksimum çözüm bulmak NP-zordur. İki taraflı grafiklerde bağımsızlık hakimiyeti problemini (minimum maksimum bağımsız küme problemi) azaltacağım. Bu problemin (daha kesin olarak karar versiyonunun) NP-tam olduğu bilinmektedir (DG Corneil ve Y. Perl, Mükemmel grafiklerde kümeleme ve hakimiyet. Kesikli Uygulamalı Matematik 9 (1984) 27-39). İki taraflı bir grafik mükemmel olduğu için bağımsız kümelenmiş politopu, klik eşitsizlikleri tarafından belirlenir ve iki taraflı bir grafikteki uç sayısı polinomdur. Bu nedenle, bağımsız set politopu için Ax <= 1, x> = 0 doğrusal eşitsizlikleri sistemini açıkça yazabiliriz. Aşırı çözümler bağımsız kümelere karşılık gelir ve aşırı maksimum çözümler maksimum bağımsız kümelere karşılık gelir.

— Yoshio Okamoto
kaynak

2

$P$ $A(P)$ $P$

$STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

$P$ $A(P)$

Ne yazık ki, bu konuların şeffaf bir açıklamasını bulmakta zorlandım, ama hiçbir şekilde polihedra konusunda uzman değilim. Umarım eldeki sorunla ilgili bulursunuz.

— Andrew D. King
kaynak