Tardos Blum için counterexample Fonksiyon İddiası

Bu konudaki Norbet Blum'un ispatı girişimi Tardos işlevinin Teorem 6'ya karşı bir örnek teşkil ettiğine dikkat çekerek kesin olarak onaylanmadı. $P \neq NP$

Teorem 6 : herhangi bir monoton Boolean işlevi olsun. için daha düşük bir sınır kanıtlamak için kullanılabilecek bir CNF-DNF-yaklaştırıcı olduğunu . Ardından , için aynı alt sınırı kanıtlamak için de kullanılabilir . $f \in \mathcal{B}_n$ $\mathcal{A}$ $C_m(f)$ $\mathcal{A}$ $C_{st}(f)$

İşte benim sorunum: Tardos işlevi bir Boole işlevi değil, Teorem 6'nın hipotezlerini nasıl karşılıyor?

Olarak , bu kağıt , bu fonksiyon karmaşıklığını ele artan kenarları yapabilir çünkü genel monoton bir Boole fonksiyonu değildir, olmak üzere büyük bir girişte daha az olduğunda doğru olduğunda false . İşlev does not, genel olarak, işlem ile ve ile . $\varphi(X) \leq f(v)$ $\varphi(X)$ $\varphi(X) \leq f(v)$ $1$ $\varphi(X) \geq f(v)$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$

Aslında, test setleri ve böylece bilgisayar olduğunu kesin olarak seçilir tarihinde ve üzerine monotonicity ile kesin klik bilgisayar Işlevinizin demektir (onlar sınırlarını belirlemek 'ler ve ' girdilerin örgüsünde s ), bu yüzden bu açıklamalar Tardos fonksiyonunun açıkça doğru olmayan CLIQUE ile aynı olduğunu ima ediyor. $T_1$ $T_0$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$ $1$ $0$

Yine de pek çok insan - ve bu kadar bilgili insanlar - Tardos fonksiyonunun derhal karşı bir örnek verdiğini iddia ediyor, bu yüzden eksik olduğum bir şey olmalı. İlgilendiğiniz taraflarla ilgilenen, ancak sizin seviyenizde olmayanlar için lütfen ayrıntılı bir açıklama ya da kanıt sunabilir misiniz?

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— user144527
kaynak

İyi bir kaynak Jukna'nın kitabı olacaktır, s.272 (Teorem 9.28'den hemen önce). (Boolean olmayan) işlevi göz önüne alındığında, : in eşiği olan Boolean işlevini düşünün Daha sonra sonuç uygulanır.

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_\phi$

ϕ

$\phi$

f_{ϕ} (G) = {\begin{cases} 1 & if ϕ (G) \geq \sqrt{n} \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_\phi(G) = \begin{cases} 1 & \text{if } \phi(G) \geq \sqrt{n}\\ 0&\text {otherwise}\end{cases}$

— Clement C.

Yani, açık olmak gerekirse, sen söylüyorsun için değerlendirecek boyutta kliklerin üzerinde ve grafiklerinde üzerinde tarafından uygun uyarılan köşe ?

f_{ϕ} (G)

$f_\phi(G)$

1

$1$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

⌊ \sqrt{n} - 1 ⌋

$\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor$

— user144527

Tabii ki, bu herhangi bir için geçerli değil . Fakat Tardos'un işlevi , sağlayan monoton bir grafik işlevine dayanmaktadır . Yani, eşikleme arasında sen dediklerimiaynen yapar. Burada Bölüm 9.8'in sonuna bakınız .

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

ω (G) \leq ϕ (G) \leq χ (G)

$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

— Stasys

Sağ. Aslında, insanların neden bu "kanıt" konusundaki tüm bu gürültüyü göz önünde bulundurarak oyunuzu aşağı oyladığını anlamıyorum? Şimdi yazarın bu P! = NP iddia dönüşü: “kanıtın” neden Tardos'un işlevi için işe yaramayacağını açıklayın. Sayfadaki X ve Y (leri) sayfalarına gelin. İpucu: Hata, yaklaşma sırasında ortaya çıkan hataların sayısını sınırlayacaktır (olumsuzluklar daha önce "geçerli" terimlerin çoğunu kaldırabilir). Aksi takdirde (açıklama yok) = "kanıt" yok.

— Stasys

@Stasys, ilk yorumunuz bir cevap olabilir.

— Kaveh

bu nedenle bu açıklamalar, Tardos işlevinin CLIQUE ile aynı olduğunu gösterir. $f$

Kısa cevap - NO.

Bu sadece bir monoton "klik-benzeri" dir: tüm kiplerini kabul eder ve tüm -partit grafikleri reddeder . Bununla beraber, bazı grafikler klik tarafından reddedilmiş kabul edebilirsiniz: grafikleri ile ama (sözde "olmayan mükemmel" grafikler). Kağıt Grötschel, Lovász ve SCHRIJVER tarafından ima sahip polinom boyutta olmayan bir monoton devresi. Ancak, "kanıt" daki Teorem 6'ya göre , herhangi bir monoton klik benzeri Boolean işlevi , herhangi bir süper-polinom büyüklüğünde monoton olmayan devreler gerektirir. Öyleyse, bu iki bildiriden biri gerekir $k$ $(k-1)$ $G$ $\omega(G) < k$ $\chi(G)\geq k$ $f$ yanlış olmak. GLS-1981 gazetesi 35 yıldan uzun bir süredir duruyordu ...

Tardos'un yaptığı şudur. grafik işlevinden başlar , burada ünlü Lovász 'teta işlevidir. Temel gerçek, sayısının klik numarası ile kromatik sayı arasında sıkıştırılmasıdır: . Daha sonra nin polinom zaman içinde yaklaştırılabileceği gerçeğini kullanır . Buna dayanarak , aşağıdaki özelliklere sahip bir grafik işlevi tanımlar : $\varphi(G):=\vartheta(\overline{G})$ $\vartheta$ $\varphi(G)$ $\omega(G)\leq \varphi(G)\leq \chi(G)$ $\vartheta(G)$ $\phi(G)$

Değerleri (sayı polinom bir sürede elde edilebilir köşe). $\phi(G)$ $n$
$\phi$ monoton: kenar eklemek sadece değerini artırabilir.
$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$ her grafikler için de geçerlidir . $G$

Daha sonra (Clement C.'nin belirttiği gibi), istenen monoton Boolean işlevini olarak tanımlar : iff . (1) 'e göre, fonksiyon (monoton olmayan) bir polinom boyutuna sahiptir. (2) ile , bir monoton Boolean işlevidir. (3) , tüm kipleri kabul eder ve tüm -partit grafikleri reddeder . $f$ $f(G)=1$ $\phi(G)\geq k$ $f$ $f$ $k$ $(k-1)$

Bkz burada teknik detaylar için.

— Stasys
kaynak

GLS-1981 kağıdıdır burada ücretsiz. Bu yazı sırasıyla Haçyan-1979 elipsoid kağıdına dayanmaktadır. Yani, (en azından) bu üç bildiriden biri yanlış olmalı?

— Tobias Müller

@Tobias: Bu,> 35 eski makalenin doğru olduğundan eminiz (çoğu zaman derslerde çoğaltılmış, birileri zaten bir hata gözlemlemiş olacaktı). Mevcut “ispat” ile ilgili sorun, “tartışmayla” değil “yapımla” olmasıdır (iki makalede olduğu gibi). Daha sonra "inşaat" ın başarısız olduğu belirli bir yere işaret etmek zorlaşıyor . Özellikle "inşaat" çok kesin olmadığı zaman. Bu ben bu yere noktaya değil, bize, şimdi yazarın GÖREV olduğunu düşünüyorum nedenle (Tardos onun inşaat geçmez.)

— Stasys