Yarı dolu sihirli kare problemi NP tamamlandı mı?

İşte sorun:

Bazı hücrelerde 1.N'den bazı sayılar içeren bir karemiz var. Sihirli bir kareye tamamlanıp tamamlanamayacağını belirlemek gerekir.

Örnekler:

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

Bu problem NP-tamamlanmış mı? Evet ise, bunu nasıl kanıtlayabilirim?

MS üzerinde Crosspost

Kısmen doldurulmuş bir Latin karesini doldurmak NP-Complete'tir. "Kısmi Latin karelerini tamamlamanın karmaşıklığı" Charles J. Colbourn. Kesikli Uygulamalı Matematik, Cilt 8, Sayı 1, Nisan 1984, Sayfa 25-30 http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

Latin kare problemi modüler aritmetik ile sihirli kare problemine dönüştürülebilir mi? Sezgim evet diyor, ama beynimin geri kalanı "Sınıflandırmaya geri dön!"

Bu sorunun iki bölümü vardır: Birincisi, NP'deki problem, ikincisi NP zor mu?

İlk kısımda, açık olmayan bir kanıtla olumlu bir cevabım var. (Daha önceki bir hatayı işaret ettiği için Suresh'e teşekkürler.)

Soruyu karar sorunu olarak resmileştirmek için aşağıdaki yolu düşünün:

SINIRSIZ MAGIC KARE BİTİRME
Girdi: pozitif tamsayı tekli verilen, bir in pozisyonları ile tamsayılar listesi ile ızgara Soru: tamsayıları ızgara kalan pozisyonlar için orada var, böylece düzenleme formları yapmak sihirli kare ?$n$$n$$n$

tamsayılarının her birinin getirdiği kısıtlamayı eklersek$1,2,\dots,n^2$ sihirli karede tam olarak bir kez olması gereken sonuçta ortaya çıkan MAGIC SQUARE COMPLETION karar problemi NP'de açıkça görülür. 1911 Ansiklopedisi Britannica'ya sihirli kare tanımı aşağıdaki Euler , bu sınırlamayı sahiptir; aksine, Wikipedia makalesi şu anda "normal sihirli kare" terminolojisini kullanıyor ve sınırsız sürüm için "sihirli kare" ayırır.

$n$$n$$n$$n$$n$

$n^2$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$\sqrt{5}^{n-1}$

Bu aynı zamanda Teorem 4.7 olarak da ortaya çıktı:

• Apoloniusz Tyszka, R ve C'de aritmetik üzerine iki varsayım , Math. Giriş. Quart. 56 175-184, 2010.

$2^n$$2^{n-1}$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$2^n$

$2^{n-1}$

Bu, aşağıdakileri sağlar:

$N$$2^{O(N^2)}$

$O(N^4)$$O(N^8)$$n^2 + 2(n+1)(n-2)+1 = 3n^2-2n-3$$n-2$$m$$O(m^2)$

$n$

Papadimitriou'nun INTEGER LİNEER PROGRAMLAMA örneğinin çözümlerine bağlı olduğu durumlarda, sayıların hepsinin negatif olmaması gereken sürümün de NP'de olduğu gösterilebilir.

$A$$r \times s$$b$$r$$\{-a, -a+1, \dots, a-1, a\}$$Ax = b$$\{0,1,\dots,s(ra)^{2r+1}\}$

$a=1$$s=n^2+1$$r=2n+2$

• Christos H. Papadimitriou, Tamsayılı programlamanın karmaşıklığı üzerine , JACM 28 765–768 , 1981. ( bağlantı )