İntegralite Açığının Önemi

Integrality Gap (IG) ' nin önemini anlamada her zaman sorun yaşadım ve bununla sınırladım. IG, optimal bir tamsayı cevabının (kalitesinin) problemin gevşemesinin optimal bir gerçek çözümünün (kalitesinin) oranıdır. Vertex kapağını (VC) örnek olarak düşünelim. VC, aşağıdaki lineer denklemlerin optimal bir tamsayı çözümünü bulmak olarak ifade edilebilir:

Sıfır / bir değerli değişkenlerin $x_v$ her köşe s $v \in V(G)$ grafiğin $G$ . Denklemleri şunlardır: $0 \leq x_v \leq 1$ için $v\in V(G)$ , ve $1 \leq x_v+x_u$ , her kenar için $uv \in E(G)$ . ∑ v ∈ V ( G ) seviyesini minimize edecek değerler arıyoruz$\sum_{v \in V(G)} x_v$ .

Bu problemin gevşemesi, $0$ ile arasındaki gerçek değerlere izin verir, $1$böylece çözümlerin alanı daha büyüktür ve optimal bir gerçek çözüm bulmak istediğimiz optimal bir tamsayı çözümünden daha küçük olabilir. Bu nedenle, tamsayılı bir çözüm bulmak için doğrusal programlamadan elde edilen optimal cevapta "yuvarlama" işlemi yapmamız gerekiyor. Optimal tamsayı çözümü, optimal çözüm ile yuvarlama işleminin sonucu arasında olacaktır. IG, bir optimal tamsayı çözümünün optimal bir gerçek çözüme oranıdır ve yuvarlama işlemi hakkında hiçbir şey söylemez. Yuvarlama işlemi (teoride) gerçek çözümü tamamen görmezden gelebilir ve en uygun tamsayı çözümünü doğrudan hesaplayabilir.

İnsanlar neden IG konusunda sınırları kanıtlamak istiyorlar?

$x$$x$

Öyleyse neden başka bir LP gevşemesi ile gelmiyor veya başka tekniklere geçip ilerlemiyorsunuz? Doğrusal ve dışbükey programlama, yaklaşık algoritmaların merkezinde olduğu kanıtlanmıştır; Birçok problem için, doğal bir LP veya SDP formülasyonunun bütünlük boşluğu, en iyi algoritmanın yaklaşık oranına ve yaklaşık oranın sertliğine eşittir. Bu sadece ampirik bir gözlemdir, ancak bir bütünlük boşluğunun kanıtlanmasının gelişmiş bir algoritma veya daha düşük sınırlamanın çok daha güçlü sonuçları olabileceği anlamına gelir.

Bu fenomen için daha derin ve daha katı sebepler olabilir. Örneğin, benzersiz oyun varsayımını farz edersek, kısıtlama memnuniyet problemleri için yaklaşım oranının ve uygunsuzluk oranının, basit bir SDP gevşemesinin bütünleşme boşluğuna eşit olduğu bilinmektedir (bkz . Her CSP İçin En Uygun Algoritmalar ve Uygunsuzluk Sonuçları - Prasad Raghavendra ?

$P \neq NP$

$a$$c$$a/c$$a$$1/c$

$I$$I$

Bütünleşme boşluğu, bir IP'nin ne kadar iyi bir şekilde yaklaştırılabileceğinin yararlı bir göstergesidir. Resmi olmayan, sezgisel bir şekilde düşünmek daha iyi olabilir. Yüksek bir bütünlük boşluğu, belirli yöntemlerin işe yaramayacağı anlamına gelir. Örneğin bazı primal / dual metotlar küçük bir bütünlük boşluğuna bağlıdır. Standart primer Vertex Cover LP için, çift LP maksimum eşleşme ister. Bu durumda, aşağıdakileri yapabiliriz:

• İkili LP'ye en uygun kesirli çözüm bulun (maksimum kesirli eşleşme)$\boldsymbol{y}$
• solution 2 faktörü ile çarpın (tüm kenar ağırlıklarını ikiye katlayın)$\boldsymbol{y}$
• bunu primal LP için uygun bir integral a dönüştürün (her kenar, vektöründen ağırlığının yarısını vektöründeki uç noktalarının her birine , ardından her ; ile değiştirilir ).$\boldsymbol{x}$$2\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{x}$$x_i$$\min(\lfloor x_i\rfloor, 1)$

Bu durumda, bu basit strateji işe yarar ve ikili LP için ağırlığının iki katından fazla olmayan primal LP'ye uygulanabilir bir integral çözümle sonuçlanır. İkili LP için uygun bir çözeltinin ağırlığı OPT için bir alt sınır olduğundan, bu 2-yaklaşım algoritmasıdır.

Şimdi, bütünlük boşluğu nerede ortaya çıkıyor? IG bu durumda 2'dir, ancak tek başına algoritmanın çalışacağı anlamına gelmez. Aksine, işe yarayabileceğini ileri sürüyor. IG daha 2'den Ve eğer, bu kadar basit strateji olur güvence altına alacak değil her zaman işi. En azından çift çözümü IG ile çarpmak zorunda kalacağız. İntegralite boşluğu bazen böyle söyler ne olmaz çalışır. Bütünleşme boşluğu, ne tür bir yaklaşım faktörü alabileceğimizi de gösterebilir. Küçük bir bütünlük açığı, yuvarlama stratejilerinin, vb. Araştırılmasının değerli bir yaklaşım olabileceğini düşündürmektedir.

Daha ilginç bir örnek için, Vuruş Kümesi problemini ve -nets kullanarak soruna yaklaşmanın güçlü tekniğini düşünün ( Brönnimann ve Goodrich, 1995) . Birçok sorun, Hitting Set'in örnekleri olarak formüle edilebilir ve birçok sorun için başarılı olan bir strateji, bunu yapmak, daha sonra iyi bir ağ bulucu bulmak, yani küçük ağları inşa etmek için bir algoritma ve her şeyi kranklamaktır. B&G meta algoritması. İnsanlar (ben dahil) herhangi biri için, o Set vurmak kısıtlı örnekleri için net bulucuları bulmaya Yani , bir inşa edebilirsiniz -net boyutu , fonksiyon$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$f(1/\varepsilon)$$f$mümkün olduğu kadar küçük olmalıdır. Sahip tipik bir hedeftir; bu bir matematiksel yaklaşımı verir.$f(1/\varepsilon) = \mathcal{O}(1/\varepsilon)$$\mathcal{O}(1)$

Görünüşe göre, mümkün olan en iyi fonksiyon , Vurma Seti için belirli bir LP'nin bütünlük boşluğu ile sınırlıdır (Eşit, Rawitz, Shahar, 2005) . Spesifik olarak, optimum integral ve kesirli çözümler . Sınırsız Vuruş Kümesi örnekleri için bütünlük boşluğu , ancak Vuruş Kümesi olarak başka bir problemi formüle ederken, IG daha düşük olabilir. Olarak , bu örnekte yazarlar bulmak için göstermek büyüklüğü -nets$f$$\mathrm{OPT}_I \leq f(\mathrm{OPT}_f)$$\Theta(\log(m))$$\varepsilon$$\mathcal{O}((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$eksen-paralel kutulara çarpma problemine karşılık gelen sınırlı Vuruş Seti örnekleri için. Bu şekilde, bu problem için bilinen en iyi yaklaşım faktörünü geliştirirler. Bunun iyileştirilip geliştirilemeyeceği açık bir sorundur. Bu sınırlı Vurma Seti örnekleri için, Vurma Seti LP'nin IG'si , -etre ağını garanti eden net bulucu tasarlamak imkansızdır. böylece bir algoritma varlığını ima, çünkü bu büyüklük garanti entegre isabet setleri ancak beri$\Theta(\log \log m)$$\varepsilon$$o((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$$o(\mathrm{OPT}_f \log\log \mathrm{OPT}_f)$$\mathrm{OPT}_f\leq m$bu daha küçük bir bütünlük boşluğu anlamına gelir. Bu yüzden eğer bütünlük açığı büyükse, kanıtlamak insanların zamanlarını iyi ağ bulucuları bulmak için boşa harcamalarını engelleyebilir.

Bazı NP-sert maksimizasyon problemleri için bir yaklaştırma algoritmasıyla karşılaştığınızda, umursayabileceğiniz bazı değerler vardır: OPT (problemin optimal değeri, OPT (IP) ile aynı olan, optimum) Sorununuzun doğru herhangi bir IP formülasyonunun değeri. IP'nizin doğrusal rahatlamasının en uygun değeri olan OPT (LP) de vardır.

$OPT(LP) \geq OPT(IP)$

Son olarak, LP çözümü yuvarlayarak elde ettiğiniz çözümün değeri olan V vardır. Algoritmanızın bir yaklaşımı olduğunu göstermek için olduğunu ispat edebilmek istersiniz , ancak bunu doğrudan yapmak mümkün değildir, çünkü çözüm uzayı üzerinde durun. Bunun yerine, neredeyse her zaman kanıtlanmış olan şey . Bu elbette , ancak daha güçlüdür. Özellikle, IP formülasyonunuzun bütünlük boşluğu büyükse , yuvarlama prosedürünüz bir bütünleşik çözümle sonuçlandığından, yukarıdaki ifade genel olarak yanlıştır.$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$$V \geq \frac{OPT(LP)}{c}$$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$

Bu yüzden işin özü şudur: LP size “iyi” olduğunu bildiğiniz bir çözüm sunar ve siz onu “neredeyse kadar iyi” bir şeye yuvarlamak istersiniz. Bütünleşme boşluğu büyükse, bu genel olarak imkansızdır, çünkü bir LP çözümü kadar "en iyisi en iyisi" olan bir bütünleşik bir çözüm elde etme garantisi verilecek hiçbir prosedür olmayacaktır - çünkü bazen bunlar yoktur!

Bir rahatlamanın bütünlük boşluğunun herhangi bir yuvarlama algoritmasıyla hiçbir ilgisi olmadığı konusunda haklısınız. Bunlar iki farklı kavramdır. Bir bütünlük boşluğu belirli bir rahatlamanın bir özelliğidir. Yani, bu rahatlamanın değeri, optimal integral değere kıyasla ne kadar büyük?

Neden doğrusal / dışbükey gevşemeleri önemsiyoruz? İntegral bir değeri etkin bir şekilde tahmin etmek için. Bu nedenle, sadece en uygun değerin hesaplanmasının zor olduğu durumlarda rahatlamalar hakkında konuşuruz ve verimli yaklaşımlarla ilgileniriz. Bütünleşme boşlukları bize bu tür tekniklerle elde edilebilecek olanların içsel sınırlamalarını göstermektedir.

Öyleyse, neden gevşeme üzerine yuvarlama algoritmalarıyla ilgileniyoruz? Optimal bir çözümün değerine yaklaşmak yerine, neredeyse optimal bir çözüm bulma algoritmik problemini çözmek için yuvarlama algoritmaları kullanıyoruz . Ayrıca, genellikle bir gevşemenin bütünlük boşluğunu ilk etapta sınırlamak için sık sık yuvarlama algoritmaları kullanılır.

Teknik olarak, bütünlük boşluğu (sizin formüle ettiğiniz gibi), en iyi doğrusal gevşeme ve optimal çözüm (TÜM IP formülasyonlarını ölçtüğü görünmektedir) arasındaki rasyon değil belirli bir IP formülasyonu içindir.

Bir bütünlük boşluğu önemlidir çünkü kullanılan belirli LP formülasyonunun sınırlarını gösterir. Belirli bir rahatlamanın bütünlük boşluğuna sahip olduğunu biliyorsam, o zaman ben de daha iyi bir bağ olduğunu ispatlamayı umursam, farklı bir formülasyon kullanmam gerekeceğini de biliyorum .$c$$c$

Steiner ağacı problemi için "iki yönlü kesilmiş gevşemenin" bütünlük boşluğunun, tam olarak ağ iletişiminde bir tür "kodlama avantajına" eşit olduğunu gösteren "Ağ verimliliğini artırmak için ağ kodlamanın avantajı" üzerine çok ilginç bir yazı vardı. Başka pek çok benzer bildiri bilmiyorum. Bununla birlikte, Steiner ağacı problemi için görünüşte daha iyi LP gevşemelerinin bilindiği de belirtilmelidir (örneğin, STOC 2010'daki Byrka ve arkadaşlarının yeni hipergrafik LP-tabanlı yaklaşım algoritmasına bakınız), hipergrafik incelemeleri üzerine son zamanlarda yayınlanan bazı makaleleri yazdığım için utanmadan gönüllü olduğumu da LP).

Çoğu cevap, bütünlük boşluğunu önemsemenin temel nedenini, yani yalnızca gevşetme tarafından sağlanan sınırın kullanılmasına dayanan bir yaklaşım algoritmasının, bütünlük boşluğundan daha iyi bir oran göstermeyi ümit edemediğini zaten ele almıştır. Bütünleşme boşluğunun faydalı bir rehber olmasının iki nedeni daha vereyim. Büyük bir kombinasyonel optimizasyon problemi sınıfı için, ayırma ve optimizasyonun denkliği, kesin algoritmaların, problem için uygulanabilir çözümlerin dışbükey gövdesiyle yakından ilişkili olduğunu göstermektedir. Böylece geometrik ve algoritmik bakış açısı birbirine çok yakından bağlıdır. Benzer bir resmi denklik, yaklaşım algoritmaları için bilinmemektedir, ancak faydalı bir kılavuzdur - algoritmalar geometrik gevşemelerle el ele gider. Algoritmik yenilik, insanlar geliştirmek için somut bir hedef olduğunda ortaya çıkar.