Sayma ve Kombinatorikte Pfaffian Yöntemleri Hakkında

13

Son zamanlarda, Holografik Algoritmalara bir giriş yapıyordum. Pfaffianlar adlı bazı kombinatoryal nesnelere rastladım. Şu anda bunlar hakkında çok fazla şey bilmiyorum ve koyabilecekleri şaşırtıcı kullanımlarla karşılaştım.

Örneğin, düzlemsel grafiklerde mükemmel eşleşme sayısını etkili bir şekilde saymak için kullanılabileceklerini öğrendim. Ayrıca, 2 * 1 fayans kullanarak bir satranç tahtasının olası eğim sayısını saymak için kullanılabilirler. Döşeme bağlantısı bana çok ilginç geldi ve web'de daha alakalı materyaller aramaya çalıştım, ancak çoğu yerde bağlantı hakkında başka bir şey bulamadım.

Sadece birisinin ilgili literatüre biraz referans önerip öneremeyeceğini sormak istedim, çünkü bu gerçekten harika olurdu ve bazı ilgili materyalleri incelemek için sabırsızlanıyorum.

reference-request co.combinatorics counting-complexity

— Akash Kumar
kaynak

3

Bu "dimer sorunu" olarak bilinir. Bir genel bakış, Baxter'in "Tam Olarak Çözülen Modelleri" nin 7.14 bölümünde ve ayrıca math.brown.edu/~rkenyon/papers/de2.pdf adresinde bulunmaktadır . Dimer sayısı, Ising bölümleme fonksiyonunun çalışılmış bir örneği olan Ising modeli bölümleme fonksiyonu olarak ifade edilebilir Pfaffian aracılığıyla verilmektedir cs.cmu.edu/~jch1/research/presentation/globersonjaakkola.ppt

— Yaroslav Bulatov

yorum için teşekkürler yaroslav. cmu örneği faydalı görünüyor

— Akash Kumar

Sen den pfaffians kısa tarihinin ilginizi çekebilir combinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r5.pdf

— Radu Grigore

Yorum için teşekkürler Radu. Robin Thomas'ın başka bir anketine rastladım. Bunu burada bulabilirsiniz people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf

— Akash Kumar

17

(Bu benim için ilginç bir soru çünkü Pfaffian hakkında da okuyorum.)

Aşağıdaki referansları öneririm:

Lovasz ve Plummer'ın Eşleştirme Teorisi adlı harika kitabının 8. Bölümü .
Kağıt Bölümü-Free Determinantın ve PFA için Algoritmalar bir FFI: Cebirsel ve Kombinatoryal Yaklaşımlar Rote tarafından. Bu makale, Pfaffian'ı , Pfaffian'ı hesaplamak için bize dinamik (bölmesiz) bir algoritma veren, alternatif kapalı yürüyüş sekansı (alternatif olarak palyaço sekansı) adı verilen kombinatoryal nesne ile ilgilidir .
Kağıt kesişmeyen yollarla, PFA ffi ans ve uçak bölmeler Stembridge tarafından, hangi kombinatorik konfigürasyonları numaralandırmak için Pfaffian nasıl kullanılacağını gösterir. Bu makale ayrıca, temel kimliklerin, örneğin,

$A$ $\mathsf{pf}(A)^2 = \mathsf{det}(A)$

— Dai Le
kaynak

2

Gerçekten, çok teşekkürler Dai. Bunlar gerçekten iyi referanslar. Çok yakında onlardan geçeceğim. Tekrar teşekkürler. Ve evet, bu Noel'in tadını çıkarın ve çok mutlu bir yeni yıl geçirin!

— Akash Kumar

@arnab ve @Akash Önerimin yardımcı olduğuna sevindim! Mutlu Noeller ve mutlu yeni yıl ikiniz!

— Dai Le

@Dai, bu çok ilginç görünüyor. Bu üç referanstan hangisi Berkowitz'in algoritmasından (Pfaffian versiyonu) bahsediyor?

— Michael Soltys

12

Sen bulabilir bu kağıdı Pfaffian devrelerinde ve referanslar ilginç ve sıvının; Ben Hofagrafik algoritmalara bağımsız bir giriş olmanın yanı sıra Pfaffyalılarla neler yapılabileceğini keşfetmeyi kastetmiştim.

— Jason Morton
kaynak

Bu harika! Teşekkürler ve mutlu yıllar!

— Dai Le

Whoo ... bu harika! Tamamen istediğim ile uyum içinde. Çok teşekkürler (ve evet mutlu yıllar)

— Akash Kumar

6

Bu gerçekten bir yorum olmalıydı, ancak yer olmaması için bunu bir cevap olarak gönderiyorum.

Herkes için cevaplar ve yorumlar için teşekkürler. Son zamanlarda Robin Thomas'ın başka bir anketine rastladım. Burada bulabilirsiniz http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf .

Bunun dışında (bana Prof Dana Randall tarafından işaret edildi) fayans bağlantısı hakkında bir ifade de eklerdim. Çift kafesi alırsanız, 2x1 domino fayansları sadece kenarlardır. Bu nedenle, mükemmel bir fayans, dualde mükemmel bir uyum sağlar. Daha sonra Pfaffians teorisi, düzlemsel grafiklerde mükemmel eşleşmeleri saymak için kullanılabilir.

Bu, öncelikle grafikteki mükemmel eşleşmeleri saymaya odaklanabileceğiniz anlamına gelir - gerisi sadece önemsiz bir şekilde takip eder.

— Akash Kumar
kaynak

3

Charles Little, Fischer, McCuaig, Robertson, Seymour ve Thomas, Loebl, Galluccio, Tesler, Miranda, Lucchesi, de Carvalho ve Murty (şu anda aklıma gelenler) tarafından da çalışmalar var.