Rasgele bir Boole işlevinin önemsiz bir otomorfizm grubuna sahip olma olasılığı nedir?

Boole işlevi verildi $f$, otomorfizm grubumuz var $Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$.

Üzerinde bilinen sınırlar var mı $Pr_f(Aut(f) \neq 1)$? Formun miktarları için bilinen bir şey var mı$Pr_f(G \leq Aut(f))$ bazı gruplar için $G$?

Evet. İlk sorunuzda, olasılık iki kat hızlı bir şekilde sıfıra gider. Bu aşağıdaki gibi hesaplanabilir. Her permütasyon için$\pi$, $\pi \in Aut(f)$yani $f(\pi(x)) = f(x)$ hepsi için $x \in \{0,1\}^n$. Yörüngelerini düşünün$\pi$ üzerinde hareket etmek $\{0,1\}^n$. Bizde var$\pi$ bir otomorfizmasıdır $f$ iFF $f$ üzerinde sabit $\pi$-orbits. Eğer$\pi$ önemsiz değil, üzerinde en az bir yörünge var $[n]$ bu bir singleton değildir ve bu nedenle en azından $\{0,1\}^n$bu bir singleton değil. Diyelim ki yörüngede$k$içindeki öğeler. Olasılığı$f$ bu yörüngede sabit olduğundan, $2^{-(k-1)}$. Farz et ki$\pi$ üzerinde hareket etmek $[n]$ vardır $c_1$ sabit noktalar, $c_2$ uzunluk 2, vs. döngüleri (özellikle $\sum_{i=1}^n i c_i = n$). Sonra puan sayısı$\{0,1\}^n$ tarafından düzeltildi $\pi$ tam olarak $2^{\sum_i c_i}$. Kalan tüm puanlar$\{0,1\}^n$ önemsiz yörüngelerinde $\pi$. Üst sınırın$\pi \in Aut(f)$, en iyi olasılığın tüm sabit olmayan öğelerin $\{0,1\}^n$ 2 büyüklüğünde yörüngelerde gel. $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$ nerede $M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$. Şimdi, daha düşük bir sınır istiyoruz$M$, yani üst sınır istiyoruz $\sum_i c_i$. Dan beri$\pi \neq 1$, en büyük $\sum c_i$ olabilir ne zaman $c_1 = n-2$ ve $c_2 = 1$, yani $\sum c_i = n-1$ ve $M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$, yani $M \geq 2^{n-1}$ ve $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$. Şimdi sendika sınırını uygulayın:$|S_n| = n!$, yani $Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$temelde $2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$ gibi $n \to \infty$, oldukça hızlı.

Herhangi biri için $G \leq S_n$ benzer bir akıl yürütme kullanabilirsiniz, ancak olasılık da çok hızlı bir şekilde sıfıra gider.