Polilog bağımsızlığının aptal olduğu sonucundaki üssü sıkılaştırma konusunda ilerleme kaydedildi mi?

Braverman, $(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}$yönlü bağımsız $\epsilon$- aptal derinliği $d$ $AC^0$ boyut devreleri $m$ Smolensky yaklaşımı ve Fourier yaklaşımı $AC^0$hesaplanabilir Boole fonksiyonları. Yazar ve bunu ilk olarak tahmin eden kişiler, buradaki üssün$O(d)$ve bununla ilgili ilerleme kaydedilip edilmediğini merak ediyorum, çünkü korelasyon mesafesine yakın bir polinom üretmeyi ve aslında çok sayıda girdi üzerindeki işlevle hemfikir olmayı gerektireceğini tahmin ediyorum ve bence bu ikisini birbirine yapıştırmadan bulmak için çok ilginç bir yaklaşım olabilir. Böyle bir yaklaşımın derecesine sahip olmasını beklemek için bir neden var mı$O(d^2)$ 2010'da makalesini yazdığında bu bilinmiyor muydu?

Bu makaleyle ilgili başka bir soru, orijinal varsayımın, bu sınırdan önce yazılmış bir makalede olmasına rağmen, Boppana'nın hassasiyete bağlı olduğunu gösteriyor. Elbette bu bir tesadüf değildir, çünkü bu sınır Fourier polinomu işe yaradığında Boppana'nın bağından türetebileceğiniz Fourier konsantrasyonuna karşılık gelecektir, ancak bildiğinizden daha iyi bir sezgi var mı? , bu bir tane alırsınız?

Onun içinde CCC'17 kağıt [1], Avishay Tal bağlı iyileştirilmiş

$$\left(\log\frac{m}{\varepsilon}\right)^{O(d)}\,. \tag{1}$$ Tartışma için s.15: 4'ü kontrol etmek isteyebilirsiniz. Ayrıca , (1) 'de ilerleyen bir Harsha ve Srinivasan makalesine bakınız (bkz.$k$yönlü bağımsız, $$k = \left(\log m \right)^{O(d)}\cdot\log\frac{1}{\varepsilon}\,. \tag{2}$$ yeterli $\varepsilon$aptal boyutu$m$ depth-$d$ AC0 devreleri.

---

[1] Fourier Spektrumunda Sıkı Sınırlar$\mathsf{AC}_0$Tal. CCC'17.

[2] Polinom yaklaşımı üzerine$\mathsf{AC}_0$Harsha ve S. Srinivasan. RASTGELE 2016,