Sidelength k ile 3B ızgaranın (kafes veya kafes) yol genişliği nedir?

Bu soruyu birkaç hafta önce mathoverflow'da sordum , ama cevap alamadım .

Burada, kenar uzunluğunun 3B ızgarasıyla, ve ile grafiğini kastediyorum. , yani, düğümler 1 ile arasındaki 3 boyutlu tamsayı koordinatlarına yerleştirilir ve bir koordinatta bir tane farklı olan diğer 6 düğüm.G = ( V , E ) V = { 1 , … , k } 3 E = { ( (( a , b , c ) , ( x , y , z ) ) ∣ | a - x | + | b - y | + | c - z | = 1 } $k$$G=(V,E)$$V= \{1,\ldots,k\}^3$$E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$$k$

Bu grafiğin adı nedir? 3D ızgara kullanacağım, ancak belki de 3D mesh veya 3D kafes diğer insanların alışkın oldukları şeydir.

Bu grafiğin trewidth veya yol genişliği nedir? Bu zaten bir yerde yayınlanmış mı?

Zaten olduğunu biliyorum, yani gerçekten daha küçük . Bana göre bu, 2B ızgarasının treidth ve yol genişliği kolayca genelleştirilemeyeceğini gösteren standart argümanların olduğunu düşündürmektedir .k 2 k x k $tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$$k^2$$k\times k$$k$

Bunu görmek için, esas olarak biçimindeki düğüm kümelerini kullanarak ızgarayı "süpüren" bir yol ayrıştırma olduğunu düşünüyoruz . Gözlemle , bu tür en büyük settir. ve arasındaki bir çizgiyle süpürülerek oluşturulur ve ayırıcılar olması için ek düğümlere ihtiyaç duyulur . Daha doğrusu, yol ayrışması olarak .| S c | ≤ ( 3 / 4 ) k 2 + O ( k ) S 3 / 2 k S c S c + 1 O ( k ) S c , d = { ( x $S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$$|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$$S_{3/2 k}$$S_c$$S_{c+1}$$O(k)$$S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$$G$

Ayrıca gösteren bir kanıt için bir fikrim var , ama bu henüz bitmedi.$tw(G) = \Omega(k^2)$

Arasında pathwidth bazı bilinen sonuçlara bir sonucu olarak tespit edilebilir. FitzGerald [2] bant genişliği göstermiştir p 3 k olan ⌊ $P^3_k$$P^3_k$. Harper [3], bir grafik koşulu karşılarsa, yol genişliği ve bant genişliği aynı olacak şekilde bir koşul gösterdi. Moghadam [4,5] ve Bollobás ve Leader [1] bağımsız olarak herhangi bir çok boyutlu ızgaranın Harper'ın durumunu karşıladığını gösterdiler. Bu sonuçlarP 3 k yol genişliğininde⌊3olduğunu ima eder.$\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$$P^3_k$.$\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

Hsien-Chih tarafından bahsedilen makalemizde, Yoshio'nun açıkladığı gibi FitzGerald'ın sonucunu genelleştirdik. Ben treewidth inanıyoruz bilinmemektedir.$P^3_k$

FYI: Makalemizin arXiv'e İngilizce bir versiyonunu gönderdim .

1. B. Bollobás ve I. Lider, Kompresyonlar ve izoperimetrik eşitsizlikler, J. Combin. Teori Ser. 56 (1991) 47-62.
2. CH FitzGerald, Grafik köşelerinin optimum indekslenmesi, Math. Zorunlu. 28 (1974), 825-831'de tarif edilmektedir.
3. LH Harper, Grafiklerde en uygun numaralandırma ve izoperimetrik problemler, J. Combin. Teori 1 (1966) 385-393.
4. HS Moghadam, Sıkıştırma operatörleri ve yollu ürünün bant genişliği problemine bir çözüm , Ph.D. tezi, California Üniversitesi, Riverside (1983).$n$
5. HS Moghadam, yollu ürünün bant genişliği , Congr. Numer. 173 (2005) 3-15.$n$

3B ızgaraların yol genişliği Ryohei Suda, Yota Otachi ve Koichi Yamazaki tarafından 3 boyutlu ızgaraların Pathwidth ( IEICE Tech) makalesinde incelenmiştir. Rapor, 2009.

Makalenin özetinde

Bu yazıda, tepe sınır genişliklerini belirleyerek 3 boyutlu ızgaraların yol genişliğini kapalı formda veriyoruz.

Bununla birlikte, kesin sınır özette belirtilmemiştir ve şu anda tam kağıda erişemiyorum. Belki yazarlarla özel olarak iletişime geçebilir ve yazarlar sonucu paylaşmak istiyorsa bu soruya kendiniz cevap gönderebilirsiniz.