Bir monoidin sözdizimsel bir dili tanıdığı ifadesinin genelleştirilmesi monoid, monoid'i böler

Let sonlu bir alfabe olacak. Belirli bir dil için sözdizimsel monoid resmi dili teoride bilinen bir kavramdır. Ayrıca, bir monoid , bir bir morfizm varsa dilini tanır .$A$$L \subseteq A^{\ast}$ $M(L)$$M$$L$$\varphi : A^{\ast} \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$

Sonra güzel bir sonuç elde ettik:

Bir Monoid tanır eğer bir submonoid bir homomorfik görüntüdür (şekilde yazılı ).$M$$L \subseteq A^{\ast}$$M(L)$$M$$M(L) \prec M$

Yukarıdakiler genellikle normal diller bağlamındaki durumlardır ve daha sonra yukarıdaki monoidlerin hepsi sonludur.

Şimdi yerine varsayalım keyfi Monoid ile , ve bir alt söylemek tarafından tanınan bir morfizmanın mevcutsa bu şekilde . O zaman hala , tanırsa , (bkz. S. Eilenberg, Automata, Makineler ve Diller, Cilt B), ancak sohbet tutar mı?$A^{\ast}$$N$$L \subseteq N$$M$$\varphi : N \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$$M$$L$$M(L) \prec M$

ispatında , bunun tersi, bazı morphism ve ise bir morfizmanın da, o zaman bulabilirsiniz böyle basitçe bazı seçerek tutan her için ve bunu den ye bir morfizme genişletir . Ancak bu keyfi monoidler için işe yaramaz, bu yüzden yukarıdaki sohbetin o zaman yanlış olmasını bekliyorum. Ve eğer yanlışsa, yanında ne tür bir monoid$A^{\ast}$$N = \varphi(M)$$\varphi : M \to N$$\psi : A^{\ast} \to N$$\rho : A^{\ast} \to M$$\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$$\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$$x \in A$$A^{\ast}$$M$$N$$A^{\ast}$ hala doğru mu ve bu monoidler araştırma literatüründe dikkat çekti mi?

Evet, bu monoidler araştırma literatüründe dikkat çekmiş ve aslında zor sorulara yol açmıştır.

Tanım . Bir Monoid adlandırılır yansıtmalı edin: aşağıdaki özellik sahibi ise bir monoid morfizmanın ve bir bir örten morfizmanın, daha sonra bir morfizmanın vardır bu şekilde .$N$$f:N \to R$$h:T \to R$$g:N \to T$$f = h \circ g$

Projektif monoidler hakkında uzun bir tartışmayı Tanım 4.1.33'ten hemen sonra bulabilirsiniz [1]. Özellikle, her bir yansıtmalı sonlu yarıgrupun bir bant (her elementin idempotent olduğu bir yarıgrup) olduğu gösterilmiştir. Ancak bunun tersi doğru değildir ve sınırlı bir yarı grubun projektif olup olmadığına karar vermek aslında açık bir sorundur.

[1]: J. Rhodes ve B Steinberg, sonlu yarıgruplara -Teori . Matematikte Springer Monografları. Springer, New York, 2009. xxii + 666 s. ISBN: 978-0-387-09780-0$q$