Bir aralığın asal sayı içerip içermediğine karar verme

Doğal sayıların bir aralığının asal içerip içermediğine karar vermenin karmaşıklığı nedir? Eratosthenes Elek bir varyantı, bir verir algoritması, aralığının uzunluğudur ve deri aralığının başlangıç noktası olarak poli-logaritmik faktörler; daha iyi yapabilir miyiz ( yalnız açısından )? $\tilde O(L)$ $L$ $\sim$ $L$

— Elliot Gorokhovsky
kaynak

Nitpick: Eratosthenes Eleği, başlangıç noktasında, sadece 1 uzunluk aralığı için bile, sadece poli-logaritmik faktörler vermez. Sayının polilogaritmik olduğu zamanın asal olup olmadığını kontrol etmek mümkündür (= temsilin boyutunda polinom), ancak bu, Eratosthenes Elekinden çok daha karmaşık bir algoritma gerektirir.

— Vanessa

@Squark True, "belirli bir faktör tabanına göre sahte sahte" belirtmiş olmalıdır. Aralığın başlangıç noktası büyüdükçe, öncelik testinin beklenen maliyeti sıfıra gider ...

— Elliot Gorokhovsky

Feragatname : Sayı teorisi konusunda uzman değilim.

$[n, n+\Delta]$ $\mathrm{polylog}(n)$ $n^{1/2 + o(1)}$

Yakından ilgili bir sorun hakkında çok sayıda harika bilgi içeren çok yararlı bir bağlantı : Asalları bulmak için deterministik algoritmalar üzerine PolyMath projesi .

Uzun cevap :

$n$ $2n$

$f(n)$ $n$ $n + f(n)$ $f(n)$ $\mathrm{polylog}(n) \cdot f(n)$ $n$ $n + \Delta$ $\Delta \geq f(n)$ $n$ $n + \Delta$ $n$ $2n$

$\mathrm{polylog}(n)$ $f(n) = O(\log^2 n)$ $n \geq 3$ $1/\log n$

$f(n) \leq O(\sqrt{n})$ $f(n) \leq O(\sqrt{n} \log n)$ $n^{o(1)}$

$\widetilde{O}(n^{0.525})$ $n^{0.025}$

— Noah Stephens-Davidowitz
kaynak

k

$k$

k

$k$

π (x) := \# primes below \leq x

$\pi(x) := \text{\# primes below $\leq x$}$

p_{n + k} - p_{n}

$p_{n+k}-p_n$

p_{n + 1} - p_{n}

$p_{n+1}-p_n$