Yaklaşık olarak aynı büyüklükteki işlem benzeri veri yapılarının daha hızlı birleşmesi

Verilen iki AVL ağaçları $T_1$ ve ve bir değer bu şekilde , yeni AVL ağaç içeren imali kolay olan ve değerleri ve zamanlı , burada bir ağaç yüksekliğini belirtmektedir (sürece ağaçlar yüksekliği depolamak gibi). $T_2$ $t_r$ $\forall x \in T_1, \forall y \in T_2, x < t_r < y$ $t_r$ $T_1$ $T_2$ $O(1+|h(T_1) - h(T_2)|)$ $h(T)$ $T$

Bu aynı zamanda kırmızı-siyah ağaçlar için de mümkündür ve diğer birçok dengeli ağacı da varsayalım.

Bu, muamele veya muamele benzeri veri yapıları için mümkün mü? Ya dışarıda ? $t_r$

Algorithmica'daki hediye dizisi , bunun beklenen zamanda nasıl yapılacağını gösterir. Kabaca aynı boyutta (veya kök önceliğiyle) O (1) beklenen birleşmeyi (veya tedavi benzeri veri yapılarını) gerçekleştirmenin bir yolu varsa , Kaplan ve Tarjan'ın önyüklemesini kullanmak mümkün olabilir. iki kat logaritmik birleşmeyle muamele (veya muamele benzeri veri yapıları) yapmak için dikenler. $O(\min(h(T_1),h(T_2)))$

ds.data-structures randomized-algorithms

— jbapple
kaynak

İşte yaklaşık aynı boyutta AVL ağaçlarının hızlı birleşimini gösteren bazı Haskell kodu: haskell.pastebin.com/nfGV8Ffz

— jbapple

Bunun çünkü mümkün olduğu şüphe görünmektedir (değer t_r ihtiva eden) yeni bir düğüm beklenen derinliği durumunda bile fazla bir sabitinden olduğu (bir kanıtı olmaksızın) burada h (T_1) = h (T_2).

— Tsuyoshi Ito

Tsuyoshi Ito: Katılıyorum, yeni düğüme diğer düğümlere öncelikler atadığınız gibi bir öncelik atarsanız. Kök düğümlerden daha yüksek olduğu garanti edilen bir öncelik atarsanız ne olur? Bu, önceliklerin IID doğasını yok eder, ancak o zaman diğer öncelikleri bir şekilde, kalıcı kırmızı-siyah ağaçlardaki yollar gibi uç noktalarda işaretlenmiş olarak değiştirirseniz? Ya da bir kişi değerleri sadece bir muamelenin yapraklarında saklar ve t_r olmadan bir birleştirme yaparsa ne olur?

— jbapple

N torunları ile yapılan işlemlerde düğümlerde 1 / n olasılığı olan torunları bıraktım. Bu, eşit büyüklükteki muameleler için bile uzun birleşme sürelerine katkıda bulunabilir - yeni bir kökün seçilmesi, ağacın ortalama derinliğinin Theta (lg n) olduğu için Theta (lg n) zamanını da aldığı için ona gitmeyi gerektirir. Eğer n torunları olan bir tedavi düğümü olasılıklı (n select i) / 2 ^ n olan çocukları bırakmışsa ve değerler sadece bir B + ağacında olduğu gibi yapraklarda saklanırsa. Sonra iki eşit boyutta yeniden birleştirmek, bir ağaçtan diğerine az sayıda öğeyi beklenti içinde dağıtır.

— jbapple

Hesaplamalarım doğruysa, yeniden dağıtılan beklenen öğe sayısı, diğer her şeyin (parmak arama özelliği gibi) işlenebileceğini varsayarak, Theta (lg n) süresinin yine de beklendiği zaman olan Theta'dır (sqrt n). Daha sıkı bir dağıtım kullanmaya ne dersiniz?

— 21'te jbapple

Yanıtlar:

Hayır, öncelikler rasgele ise bunu sıradan Treaps ile yapmak mümkün değildir.

Yapacağım kesin iddia, eşit öncelikli iki eşitleme üzerinde böyle bir birleşmenin rastgele önceliklerle gerçekleştirilmesinin beklenti içinde işaretlerinin güncellenmesini gerektirmesidir . $\Theta(\log n)$

İşte kaba bir taslak:

İşlemi gerçekleştirmek için beklemek zorunda olduğunuz işaretçi sayısını göz önünde bulundurun. Eğer sadece ve birleştirirsek sınırını kanıtlamak daha kolaydır . Doğru omurga düşünün ait ve sol omurga ait . öğelerini kırmızı ve mavisi öğelerini . öncelikli olarak sipariş . Bu sırayla renk her değiştiğinde bir işaretçiyi değiştirmeliyiz. Her iki diken de boyutu $\Theta(\log n)$ $t_r$ $T_1$ $T_2$ $S_1$ $T_1$ $S_2$ $T_2$ $S_1$ $S_2$ $S_1 \cup S_2$ $\Theta(\log n)$ yüksek olasılıkla ve öncelikler rastgele, dizideki renk değişikliklerinin sayısının da olduğunu görmek çok zor değil . Bu yüzden birleştirme için işaretleyicilerini güncellememiz gerekiyor ( eklemeden ). $\Theta(\log n)$ $\Theta(\log n)$ $t_r$

Şimdi, birleştirmeyi yaparken eklemek pek yardımcı olmuyor. Bu durumda işaretçi değişikliklerinin sayısı aşağıdaki şekilde alt sınırlandırılabilir: . küçük her şeyi silin . Sonra ortaya çıkan dizideki renk değişimlerinin sayısı alt sınırımızdır. Yana rastgele önceliğe sahiptir, son treap bunun kökü alt ağaç beklenen yükseltir bu işlem sadece, böylece ait düğümler düşük önceliğe sahip olmadığı kadar beklenti, kayıp böylece eklenirken alt sadece işaretçisi değişir . $t_r$ $S_1 \cup S_2 \cup \{t_r\}$ $t_r$ $t_r$ $O(1)$ $O(1)$ $S_1 \cup S_2$ $O(1)$ $t_r$

Şimdi, dedi ki, muhtemelen sürekli beklenen zaman birleştirme sağlayan "tedavi benzeri" bir veri yapısı elde etmek için bir yol var.

Evet, "davranmaya benzer" bir veri yapısı arıyorum. Yorumlarda ve geçersiz cevabımda çok fazla bahsetmiş olmama rağmen, başlığa veya soruya koymadım.

— jbapple

Cevabınız için teşekkürler. Sorunun başlığını ve metnini daha az belirsiz olacak şekilde değiştirdim.

— jbapple

Güncelleme: Bu birleştirme işleminin yanlışlığıyla ilgili güncelleme için aşağıya bakın

İşte olası bir çözümün çok kaba bir taslağı:

Rastgele dengeli bir B + ağacı türü kullanarak bu soruna bir çözüm bulabilirim. Tepeler gibi, bu ağaçların da benzersiz bir temsili var. İkramlardan farklı olarak, bazı anahtarları birden çok kez saklarlar. Bent ve arkadaşlarının "Önyargılı Arama Ağaçları" ndan bir hile kullanarak, her anahtarı yalnızca göründüğü en yüksek (yani köke en yakın) seviyede saklamanın düzeltilmesi mümkün olabilir.

Sıralı bir benzersiz değerler kümesi için bir ağaç, ilk önce her bir değerin, bir işlemdeki her bir değerin bir öncelikle ilişkilendirilmesine benzer şekilde bir bit akışıyla ilişkilendirilmesiyle oluşturulur. Ağaçtaki her düğüm hem bir anahtar hem de bir bit akışı içerir. Yaprak olmayan düğümler, ek olarak, o düğümden köklenen ağacın yüksekliğini gösteren doğal bir sayı içerir. İç düğümlerde sıfır olmayan herhangi bir çocuk bulunabilir. B + -trees gibi, kökten bir yaprağa kadar kendiliğinden kesişmeyen her yol aynı uzunluktadır.

Her iç düğüm ( (B + - ağaçlarda olduğu gibi), soy yapraklarının en büyük anahtarını içerir. Her biri ayrıca köklü ağacın yüksekliğini ve bitten itibaren ile ilişkili bit akışını gösteren doğal bir numarası içerir . En köklü ağaçtaki her anahtar varsa onun biraz akışında aynı ilk bit vardır, her çocuğun yaprak ve ise . Aksi takdirde, öğeleri , hepsi anahtarlarıyla ilişkili bit akışında aynı bitine sahip olan iç düğümlerdir . $v$ $k$ $i$ $v$ $k$ $i+1$ $v$ $v$ $i$ $1$ $v$ $i$

İlişkili bit akışlarına sahip sıralı bir anahtar listesinden bir ağaç yapmak için, önce anahtarları akışlarındaki ilk bite göre bitişik gruplara toplayın. Bu grupların her biri için, gruptaki en büyük anahtarın anahtar ve bit akışına sahip, ancak akışın ilk bitini kullanarak bir üst öğe oluşturun. Şimdi büyükanne ve büyükbaba oluşturmak için yeni ebeveynler üzerinde aynı gruplama prosedürünü uygulayın. Yalnızca bir düğüm kalana kadar devam edin; bu ağacın köküdür.

Aşağıdaki anahtar listesi ve (bit başlangıcı) bit akışları altındaki ağaç ile temsil edilir. Bit akışı öneklerinde bir '.' herhangi bir bit anlamına gelir. Diğer bir deyişle, anahtarın A için herhangi bir bit akışı, en başta 0 olan herhangi bir bit akışı, başka hiçbir anahtarın bit akışının farklı olmadığı varsayılarak, diğer ağaçlarla aynı ağacı üretir.

A 0...
B 00..
C 10..
D 0...
E 0011
F 1...
G 110.
H 0001


        ____H____
       /         \
      E           H
      |          / \
    __E__       G   H
   /  |  \      |   |
  B   C   E     G   H
 / \  |  / \   / \  |
A   B C D   E F   G H

Belirli bir iç düğümün her alt öğesi, bit akışının ilk yerinde aynı bite sahiptir. Buna ebeveynin "rengi" denir - 0 kırmızı, 1 yeşildir. Çocuğun bit akımının ilk bitine bağlı olarak bir "lezzeti" vardır - 0 kiraz, 1 nane. Yaprakların lezzetleri vardır, ancak renkleri yoktur. Tanım olarak, kiraz düğümü yeşil bir üst öğeye sahip olamaz ve nane düğümü kırmızı bir üst öğeye sahip olamaz.

Bit akımlarının bitleri düzgün dağılımından IID, ebeveynlerinin sayısı PMF varsayarsak düğümleri olan ve beklenen değer . Tüm bu olduğundan beklenen ağaç yüksekliği . $n$ $2^{1-n}$ ${n-1}\choose{i-1}$ $(n+1)/2$ $n \geq 2$ $\leq \frac{3}{4}n$ $O(\lg n)$

Eşit yükseklikte iki ağaca katılmak için, önce köklerinin aynı renkte olup olmadığını kontrol edin. Eğer öyleyse, sol kökten en sağdaki çocuğunu ve sağ kökten en soldaki çocuğunu koparın, sonra bu iki ağaca özyineli olarak katılın. Sonuç aynı yükseklikte bir ağaç veya daha uzun bir ağaç olacaktır çünkü ağaçlar aynı tada sahiptir (aşağıya bakınız). İki ağacın tekrar tekrar birleştirilmesinin sonucu, kesilen iki çocukla aynı yüksekliğe sahipse, onu bir kökün orta çocuğu önce sol kökün geri kalan çocukları ve ondan sonra sağ kökün geri kalan çocukları yapın. 1 ile daha uzunsa, çocuklarını bir kökün orta çocukları, ondan önce sol kökün geri kalan çocukları ve ondan sonra sağ kökün kalan çocukları yapın. Köklerin farklı renkleri varsa, aynı lezzete sahip olup olmadıklarını kontrol edin. Yaparlarsa, onlara ilk kökünü seçerek sağ kök anahtar ve bit akışıyla yeni bir ebeveyn verin. Eğer yapmazlarsa, her köke eski kökün anahtar ve bit akışıyla yeni bir ebeveyn verin (her ilk biti elid), sonra bu ağaçlara özyineli olarak katılın.

Bu algoritmada iki özyinelemeli çağrı var. Birincisi, köklerin aynı renge sahip olması, ikincisi ise köklerin farklı renklere ve farklı tatlara sahip olmasıdır. Kökler olasılık ile aynı renge sahiptir . Bu durumda özyinelemeli çağrı her zaman aynı lezzete sahip kökleri görür, bu nedenle ikinci tip özyineleme asla ilkinden sonra gerçekleşmez. Bununla birlikte, birincisi tekrar tekrar meydana gelebilir, ancak her seferinde olasılık , bu nedenle beklenen çalışma süresi hala . İkinci özyinelemeli çağrı olasılıkla gerçekleşir ve sonraki özyinelemeli çağrılar her zaman farklı renklere sahip ağaçlarda yapılır, bu nedenle aynı analiz uygulanır. $1/2$ $1/2$ $O(1)$ $1/4$

Eşit olmayan yükseklikte iki ağaca katılmak için, önce sağ ağacın sol omurgasını aşağı doğru takip edin, doğru ağacın daha uzun olduğunu varsayalım. (Diğer durum simetriktir.) Eşit yükseklikte iki ağaca ulaşıldığında, aşağıdaki gibi değiştirilmiş eşit yükseklikte iki ağaç için birleştirme işlemini gerçekleştirin: Sonuç aynı yüksekliğe sahipse, sonuç olan bir çocuk olan ağacı değiştirin birleştirme. Sonuç daha uzunsa, kök için bir üst öğe ekleyerek bir kişi tarafından daha uzun hale getirildikten sonra, diğer ağacın kökünün sağındaki ağacın üst öğesine katılın. Ağaç olasılık ile aynı yükseklikte olacaktır , bu nedenle bu cinsinden sona erer . $1/2$ $O(1)$

Güncelleme: QuickCheck sayesinde, yukarıdaki birleştirme yönteminin yukarıdaki benzersiz temsil edilen ağaçlarla aynı ağaçları üretmediğini keşfettim. Sorun, yaprakların yakınındaki ebeveyn seçeneklerinin mevcut kardeşlere bağlı olarak değişebilmesidir. Bu değişiklikleri düzeltmek için, birleşimin olmayan yapraklara kadar gitmesi gerekir . İşte QuickCheck'in bulunduğu örnek: $O(1)$

a 01110
b 110..
c 10...
d 00000

Yapılmış ağacın [a,b]yüksekliği 2, yapılan ağacın [c,d]yüksekliği 2 ve yapılan ağacın joinEqual (tree [a,b]) (tree [c,d])yüksekliği 3'tür. Ancak, yapılan ağacın [a,b,c,d]yüksekliği 5'tir.

İşte bu hatayı bulmak için kullandığım kod .

— jbapple
kaynak