Yasak reşit olmayanları bulan bir algoritma var mı?

Robertson-Seymour teoremi söylüyor herhangi bir küçük kapalı aile $\mathcal G$ grafiklerin sayısı, çok sayıda yasaklı küçüklerle karakterize edilebilir.

Bir girdi için bir algoritma var mı $\mathcal G$ yasak gençleri çıkarır mı yoksa bu kararsız mıdır?

Açıkçası, cevap nasıl $\mathcal G$ girişte açıklanmıştır. Örneğin, $\mathcal G$ tarafından verilir $M_\mathcal G$ üyeliğe karar verebilir. $M_\mathcal G$ hiç bir şeyi reddeder. Eğer $\mathcal G$ son derece yasaklanmış küçükler tarafından verilir - biz de bunu ararız. Cevabı bilmek isterdim $M_\mathcal G$ herhangi birinde durması garanti edilir $G$ sabit bir süre içinde $|G|$ . Ayrıca ilgili sonuçlarla da ilgileniyorum. $\mathcal G$ başka bir sertifika ile küçük kapalı olduğu kanıtlanmıştır (aşağıdaki durumlarda olduğu gibi) $TFNP$ veya YANLIŞ GEÇİRMEZ ).

Güncelleme: Sorumun ilk sürümü, Marzio ve Kimpel'in fikirlerine dayanarak oldukça kolay çıktı, aşağıdaki yapıyı düşünün. $M_\mathcal G$ üzerindeki grafiği kabul eder $n$ eğer sadece $M$ durmaz $n$ adımları tekrarlayın. Bu küçük kapanır ve çalışma süresi sadece $|G|$ .

graph-theory decidability graph-minor

— domotorp
kaynak

Eğer

G

$\mathcal G$ her zaman durdurulan bir TM ile temsil edilir

M_{G}

$M_\mathcal G$ , durdurma problemini azaltabilirsiniz: verilen

M

$M$ inşa etmek

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ ve eğer yalnızca

M

$M$ tam olarak durur

x

$x$ adımlar (

(G_{1}, G_{2}, . . .

$(G_1,G_2,...$ standart bir grafik numaralandırmasıdır).

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ en az bir yasaklı minör kabul eder,

G

$\mathcal G$ küçük kapalı bir ailedir; dolayısıyla sorun çözülemez.

— Marzio De Biasi

@ThomasKlimpel: Ops, soruyu yanlış anladım. Belki bir düzeltme:

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ ilkini ara

G_{i}, i \leq x

$G_i, i \leq x$ öyle ki

M

$M$ tam olarak durur

i

$i$ adımlar sonra kabul

G_{i}

$G_i$ küçük değil

G_{x}

$G_x$ ; aksini reddetmek.

— Marzio De Biasi

@Marzio Evet, basitleştirmek için:

M_{G}

$M_\mathcal G$ üzerindeki grafiği kabul eder

n

$n$ eğer sadece

M

$M$ durmaz

n

$n$ adımları tekrarlayın. Bu küçük kapanır ve çalışma süresi sadece

| G |

$|G|$ .

— domotorp

Şey, durdurarak

M

$M$ durur

2

$2$ sonra da durduğunu söyleriz

3

$3$ adımları tekrarlayın.

— domotorp

@domotorp İnşaatınız (yanılmıyorsam) ve sorularınızdan birini yanıtladığından (ve Marzio De Biasi ve ben bu kadar basit bir inşaat yapmayı denediğimizden beri), bence inşaatınızı bir doğru cevap. Kendi sorunuzu cevaplamaktan rahatsızlık duyarsanız, bunu topluluk wiki'si yapabilirsiniz. Alternatif olarak, sorunuzu düzenleyebilir ve yanıtı buraya ekleyebilirsiniz.

— Thomas Klimpel

Bir üzere (Bruno Courcelle gözetiminde doktora yaptı) Mamadou Moustapha Kanté tarafından cevap benzer soruya değinir Monadik İkinci al İdealleri için Grafik Minör Engel Setleri Hesaplanabilirlik Üzerine Bir Not B. Courcelle, R. Downey ve tarafından (1997) M. Hesaplanamayan bir sonuç ( MSOL tarafından tanımlanabilir grafik sınıfları, yani Monadic İkinci dereceden bir formülle tanımlanan sınıflar için) ve B tarafından bağlamsız bir gramer (1998) tarafından tanımlanan küçük kapalı bir grafik kümesinin engelleri Bir hesaplanabilirlik sonucu için Courcelle ve G. Sénizergues ( HR tarafından tanımlanabilir grafik sınıfları, yani Hyperedge Replasman dilbilgisi tarafından tanımlanan sınıflar için).

Hesaplanabilir ve hesaplanamayan durum arasındaki en önemli fark, (küçük-kapalı) HR-tanımlanabilir grafik sınıflarının ağaç genişliğini sınırlandırması, (küçük-kapalı) MSOL tanımlanabilir grafik sınıflarının da sınır genişliğine ihtiyaç duymamasıdır. Aslında, (küçük-kapalı) MSOL tanımlanabilir bir grafik sınıfı trewidth sınırladıysa, aynı zamanda HR-tanımlanabilir.

Üçgen, hesaplanabilir olanı hesaplanamayan durumlardan ayırmanın çok önemli bir parçası gibi görünmektedir. Bilinen başka bir sonuç (M.Fellows ve M􏰊.􏰊 Langston tarafından) temel olarak, sınırlı dışlanmış çocuk kümesinin maksimum trewidth (veya yol genişliği) için bir sınır biliniyorsa, o zaman (sınırlı) minimum dışlanan çocuk kümesi (sonlu) olur hesaplanabilir.

Hiçbir bilgi yoksa, her biri ilgili sonlu hariç tutulan minörler tarafından verilen iki küçük kapalı grafik sınıfının birleşimi için (son derece küçük minimum kapalı) (önemsiz derecede küçük-kapalı) hesaplanıp hesaplanamayacağı bile bilinmemektedir. hakkında treewidth (veya pathwidth) kullanılabilir. Ya da belki de bu arada genel olarak hesaplanamayacağı kanıtlanmıştır.

— Thomas Klimpel
kaynak

Bu son kısım oldukça ilginç. İyi anlarsanız, bu aşağıdakileri ima eder. Bir grafik ailesi için

G

$\mathcal G$ , ile belirt

m (G)

$m(\mathcal G)$ yasaklanan en büyük minimal minörlerin büyüklüğü. İzin Vermek

f (n) = max {m (G_{1} \cup G_{2}) ∣ m (G_{1}), m (G_{2}) \leq n}

$f(n)=\max \{m(\mathcal G_1 \cup \mathcal G_2)\mid m(\mathcal G_1),m(\mathcal G_2)\le n\}$ . Daha sonra için bilinen bir özyinelemeli üst sınır yoktur . çok hızlı büyüdüğünü gösteren bazı örnekler biliyor musunuz ?

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— domotorp

@domotorp Kabul ediyorum, iyi bir nokta. Bu tür örnekler için bazı fikirlerim var, ancak tüm örneklerimin (temel olarak "ızgara" boyutu ile oynamaya çalışıyorum) büyüme oranının ELEMENTARY içinde kalacağı izlenimine sahibim. Ancak, bu sorulara zaman harcamak istersem, önce 2000-2018 yıllarında neler olduğuna dair bir literatür çalışması yapmalıyım, belki de bildiğim kağıtları alıntılayan makalelere bakarak ya da bakarak bu sorular üzerinde çalışan yazarların daha sonraki yayınlarında.

— Thomas Klimpel

Görüyorum - şey, cevabı bilmek için umutsuz değilim, sadece şaşırdım ve meraklandım ...

— domotorp

@domotorp Sendika için asgari olarak dışarıda tutulan minörlerin 2008'de hesaplanabilir olduğu görülmüştür: logic.las.tu-berlin.de/Members/Kreutzer/Publications/…

— Thomas Klimpel