Bir politopun grafiğindeki bir tepe noktasının komşusunu verimli bir şekilde örnekleyebilir mi?

tanımlanan bir politop $P$ sahibim . $\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$

Soru: bir tepe Verilen $v$ arasında $P$ , bir komşuları homojen numune için polinom zaman algoritması olduğu $v$ grafikte $P$ ? (Boyutta polinom, denklem sayısı ve $b$ temsili . Denklem sayısının boyutta polinom olduğunu varsayabilirim.)

Güncelleme: Sanırım bunun NP zor olduğunu gösterebildim, tartışmayı açıklayan cevabımı görün. (Ve $NP$ -hard ile, yani bir polinom zaman algoritmasının $RP = NP$ ... 'nin burada doğru terminolojinin ne olduğundan emin olamayacağını kastediyorum .)

Güncelleme 2: $NP$ sertliğinin (doğru kombinatoryal politop verildiğinde) 2 satır kanıtı var ve bunu Khachiyan'ın bir makalesini bulabildim. Açıklama ve bağlantı için cevaba bakınız. :-D

Eşdeğer bir sorun :

Yorumlarında Peter Shor, bu sorunun belirli bir politopun köşelerinden eşit olarak örnek alıp alamayacağımız sorusuna eşdeğer olduğuna dikkat çekti. (Ben denklik böyle gider düşünüyorum: Bir yönlü politop dan gidebilir $P$ bir tepe ile $v$ de köşe şekle $v$ , $P/v$ ve tepe noktalarını örnekleme $P/v$ komşularını örnekleme eşdeğerdir $v$ üzerinde $P$ . diğer yönde, politop gitmek için $P$ politop için $Q$ tepesi olan bir koni ekleyerek bir yüksek boyutun $v$ ve taban $P$ . Daha sonra , $v$ komşularını örneklemek, köşelerini örneklemeye eşdeğerdir .) $Q$ $P$

Sorunun bu formülasyonu daha önce sorulmuştur: /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

— Lorenzo Najt
kaynak

Sorunuzun cevabını bilmiyorum, ancak bilgime göre, açıkça verilen bir politopun tepe noktasını eşit olarak örneklemek için bilinen bir NP sertliği yoktur. Örneğin, yaklaşık örnekleme çevrimleri NP-zordur. Ancak, köşeleri döngüleri kodlayan bazı doğrusal programlar varsa, büyük olasılıkla döngünün uzunluğunu optimize edebilir ve böylece Hamiltonian Döngüsünü çözebilirsiniz.

— Heng Guo

Başka bir açıklama, sorunuzun olumlu bir cevabı olsa bile, köşeler için tek tip bir örnekleyici vermediğidir (0-1 politop varsayımını varsayarak). En ilginç durumlarda politopun iskeleti düzenli değildir ve dereceler katlanarak değişebilir.

— Heng Guo

@HengGuo Tekrar yorumlar için teşekkürler, çok yardımcı oldular. Derecelerin katlanarak değiştiği iyi bir örnek biliyor musunuz? (Bunun genel politoplar için olabileceğine şaşırmadım; başınızın üstünden bir tanesini biliyorsanız kombinasyonel bir örneğe sahip olmak güzel olurdu.)

— Lorenzo Najt

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

{v_{1}}

$\{v_1\}$

{v_{2}}

$\{v_2\}$

Bir politopun belirli bir tepe noktasının komşu köşelerini düzgün bir şekilde örneklemek, bir politopun rastgele bir tepe noktasını eşit olarak örneklemekle aynı sorundur. Köşeye sonsuz yakın bir koni doğrayın. Birinin yeni bir politopu vardır ve bu yeni politopun bir tepe noktasını örnekleyebiliyorsanız, orijinal politopun komşu bir tepe noktasını örnekleyebilirsiniz. Bunu yaklaşık olarak BPP'de yaptığımı tahmin ediyorum, ancak bunu kanıtlayan bir kağıt bulamıyorum.

— Peter Shor

$NP$

İlk olarak, bir polihedronun tüm köşelerini oluşturmak , sayfa 4'ün altındaki bir grafiğin dolaşım politopunu hatırlamak zordur .

Köşeleri yönlendirilen basit döngülerle iki yönlü olarak örtüşmektedir. Bu nedenle, JVV Önerisi 5.1 ile örneklenmesi veya sayılması zordur . :-D

Bu anahtar kelimelerle donatılmış olarak, Khachiyan'ın Enine Hipergrafları ve Çok Yüzlü Koni Ailelerinin teorem 1'i olarak örnekleme sonucunun sertliğini bulabildim.

Düzenleme: Aşağıdaki argümanı yazdım ve doğru görünüyor. Ancak, burada özetleyeceğim çok daha basit bir argüman var:

a) Bir dışbükey polihedronun (Fukuda ve ark.) tüm köşelerini ve tüm yüzlerini listelemek için backtrack algoritmalarının analizi ile politoplarda aşağıdaki problemi çözmek kesinlikle NP zordur:

$Ax = b , x \geq 0$ $\mathbb{R}^n$ $S \subseteq n$

$v$ $P$ $S$

$y_{ik}$ $i \in S$ $k = 1, \ldots, d$ $0 \leq y_{ik} \leq x_i$ $P_{S,d}$ $d |supp(x) \cap S|$

$2^{d | supp(x) \cap S|}$ $supp$

$d$ $P_{S,d}$ $S$

Bunun çeşitli uzantıları var gibi görünüyor. Yazma bittiğinde bir bağlantı ile güncelleyeceğim.

(Eski argüman buradaydı - düzenleme geçmişinde. Onu kaldırdım çünkü çok uzun ve soruya doğru cevabı bulmayı engelleyecek.)

— Lorenzo Najt
kaynak

H_{1}

$H_1$

H_{0}

$H_0$

l e a v e s

$leaves$

d

$d$

| H_{0} |

$|H_0|$

| H_{1} |

$|H_1|$

Bunda yanlış bir şey olmalı. Köşeleri lassos ve basit döngüleri olan bir politop varsa, bu politop üzerinde istediğimiz herhangi bir doğrusal işlevi en üst düzeye çıkarmak için doğrusal programlama kullanamaz mıyız? Ve bu polinom zamanında yayılan bir kement bulmamıza izin vermez mi?

— Peter Shor

@PeterShor Bence bunun gerçekleşmediği için, politop kenar değişkenlerinin toplamı bire ayarlanarak tanımlanan hiper düzlemin içinde yaşıyor. Böylece bu fonksiyonel politop üzerinde sabittir. Kenar sayısını temsil eden işlev, bu politopta doğrusal olmayan vektörün desteğinin boyutudur.

— Lorenzo Najt

@PeterShor 'Kenar sayısı' işlevinin doğrusal olamayacağına dair bir kanıt ekledim, alttaki resme bakın.

— Lorenzo Najt