Protokol bölüm numarası ve deterministik iletişim karmaşıklığı

Bir ilişkinin (deterministik) iletişim karmaşıklığı yanı sıra , gerekli iletişim miktarı için bir başka temel ölçü, protokol bölüm numarasıdır . Bu iki önlem arasındaki ilişki sabit bir faktöre kadar bilinmektedir. Kuşhilevitz ve Nisan (1997) tarafından yapılan monografi;$cc(R)$$R$ $pp(R)$

İkinci eşitsizlikle ilgili olarak, ile (sınırsız bir aile) ilişkilerini vermek kolaydır .$R$$\log_2(pp(R)) = cc(R)$

İlk eşitsizlik ile ilgili olarak, (1999), Doerr biz faktörü yerine gösterdi , ilk olarak bağlanmış olarak . İlk sınır ne kadarsa geliştirilebilir? $c=3$$c=2.223$

Betimsel karmaşıklığından ek motivasyon: sabiti iyileştirilmesi Gruber ve Johannsen (2008), bkz alt geliştirilmiş düzenli ifadeler minimum büyüklüğüne bağlı eşdeğer belirli bir DFA bir bazı sonlu bir dil açıklayan sonuçlanacaktır. $2.223$

Doğrudan bu soru ile ilgili olmasına rağmen, Kushilevitz, Linial ve (1999) Ostrovsky'nin ilişkileri verdi ile , burada olduğu dikdörtgen bölüm numarası .$R$$cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))$$rp(R)$

EDIT: Yukarıdaki sorunun Boolean devre karmaşıklığındaki aşağıdaki soruya eşdeğer olduğuna dikkat edin: Yapraksız L'nin her bool DeMorgan formülünün en fazla eşdeğer bir derinlik formülüne dönüştürülebilmesi için en uygun sabit ?$c$$c \log_2L$

Kaynaklar :

• Kushilevitz, Eyal; Nisan, Noam: İletişim Karmaşıklığı. Cambridge Üniversitesi Yayınları, 1997.
• Kushilevitz, Eyal; Linial, Nathan; Ostrovsky, Rafail: İletişim Karmaşıklığındaki Doğrusal Dizisel Varsayım Yanlıştır, Combinatorica 19 (2): 241-254, 1999.
• Doerr, Benjamin: İletişim Karmaşıklığı ve Protokol Bölüm Numarası, Teknik Rapor 99-28, Berichtsreihe des Mathematischen Seminars der Universität Kiel, 1999.
• Gruber, Hermann; Johannsen, Jan: İletişim Karmaşıklığı kullanarak Normal İfade Boyutunda En Uygun Alt Sınırlar. In: Yazılım Biliminin Temelleri ve Hesaplama Yapıları 2008 (FoSSaCS 2008), LNCS 4962, 273-286. Springer.

Tamam, o zaman ikisinin yeterli olduğunu ispatlamaya çalışayım, bu . Üzgünüm ama bazen yaprak / pp (R) yerine sayıları yazarım, sayı 1'den küçük olduğunda açıkça bunu kastediyorum. Ayrıca, tex olmayan okunabilirliği artırmak için genellikle <yerine yazarım .$cc(R)\le 2\log_2(pp(R))$$\le$

Dolaylı, bunun doğru olmadığı bir R olduğunu varsayalım ve eşitsizliği ihlal eden en küçük pp (R) ile R'yi alalım. Temel olarak, iki bit kullanarak, protokol ağacının dört sonucunun tamamındaki yaprak sayısını yarıya indirebileceğimizi, sonra da indüksiyon kullanarak yaptığımızı göstermeliyiz.

Alice'in X ve Bob'un muhtemel girdi kümesini Y ile belirtin. Pp (R) yapraklarını elde eden protokol ağacının ortasına, yani ağacın üç parçaya düştüğü, her biri en fazla 1/2 olan silme düğümünü alın. pp (R) 'nin yaprakları ve karşılık gelen girişleri X0 ve Y0 ile gösterir. Genelliği kaybetmeden Alice'in merkezde konuştuğunu ve girişinin ayrık birliği X0 olan XL veya XR'ye ait olup olmadığını söyleyeceğini varsayabiliriz. XL PP (R) yaprak oranını ifade etmektedir XR içinde, L Y0 R Y0 ve D şimdiye kadar geri kalanı yaprakların gösteren, Doerr benzer, üç parçaya bölerler dikdörtgen , A ile Y0 X'in kesiştiği, dikdörtgen, X0 kesişen× × $\times$$\times$$\times$$\times$ B'ye ve Y'ye göre C. Y A + B + C = D olduğuna dikkat edin.

Şimdi L + R> 1/2, L, R <1/2 olduğunu ve genel kaybı olmadan L'nin en fazla R olduğunu varsayabiliriz. Ayrıca D = A + B + C <1/2 olduğunu da biliyoruz. L + A <1/2 veya L + B <1/2 olduğunu bildiğimiz 2L + A + B <1, bunlar bizim iki durumumuz olacak.

Durum L + A <1/2: İlk önce Bob, girişinin Y0'a ait olup olmadığını söyler. Değilse, en fazla D <1/2 yaprak kalmıştır. Eğer öyleyse, Alice girişinin XR'ye ait olup olmadığını söyler. Değilse, en fazla L + A <1/2 yaprak kalmıştır. Eğer öyleyse, o zaman R <1/2 yapraklar kaldı.

Vaka L + B <1/2: İlk önce Alice, girişinin XR'ye ait olup olmadığını söyler. Eğer öyleyse, Bob onun Y0'ye ait olup olmadığını söyler, buna bağlı olarak kalan R veya B yapraklarımız var. Alice'in girişi XR'de değilse, Alice, girişinin XL'de olup olmadığını söyler. Öyleyse, L + B <1/2 yapraklarımız kaldı. Değilse, kalan en fazla D <1/2 yaprak var.

Her durumda biz yapılır. Ne düşündüğü söyle.

Vererek domotorp mükemmel cevap ilaveten , beni Jukna son monografi (2012) Bölüm 6.1'de bu sorunun derinlemesine bir tartışma sağlar söz edelim. Jukna göre, mevcut en iyi bağlandığı Khrapchenko tarafından (1978).c ≤ $c\le 2$$c \le 1.73$

Referanslar

Stasys Jukna. Boolean Fonksiyon Karmaşıklığı: İlerlemeler ve Sınırlar. Springer, 2012.

VM Khrapchenko. Karmaşıklık ve derinlik arasındaki ilişkide. Kontrol Sistemleri Synthezisinde Metody Diskretnogo Analiza 32: 76–94, 1978.