Cebirsel geometrinin tür teorisi / programlama dili teorisindeki uygulamaları

Son zamanlarda cebirsel geometriye ilgi duymaya başladım ve okumaya başladım. Bu alan hakkında hala çok az şey biliyorum, ancak ana alanım, tür teorisi ve programlama dilleri ile herhangi bir bağlantısı olup olmadığını bilmek istiyorum.

Cebirsel topolojinin tip teorisinde (homotopi tip teorisi ve daha pek çok) birçok uygulaması olduğunu biliyorum, ama hem tip teorisi / PL teorisinin hem de AG'nin kategori teorisinin iyi motivasyonları olmasının yanı sıra cebirsel geometri hakkında ne söyleyebilirim?

Bildiğim kadarıyla (ki bu kesinlikle eksiktir), muhtemelen nispeten karmaşık iki bilgi kütlesinin asimile edilmesini gerektirdiği için bu konuda nispeten az çalışma olmuştur. Ancak, çok az var olmadığı anlamına gelmez. Thierry Coquand ve işbirlikçileri değişmeli cebir ve yapıcı mantık arasındaki bağlantılar hakkında birkaç makale yazmışlardır.

• Thierry Coquand, Henri Lombardi. Soyut cebire mantıklı bir yaklaşım .

  Bu makale, yüksek lisans öğrencisi olarak büyük bir izlenim bıraktı - kanıtlama teorisi ve model teorisinden fikirleri önemsiz, uygun matematik yapmak için kullandığım kendinden emin ve özgür bir şekilde.

• Henri Lombardi ve Claude Quitté'nin (serbestçe kullanılabilir) bir ders kitabı var, Değişmeli cebir: Yapıcı yöntemler .

  Başlıktan da anlaşılacağı gibi, bu cebirsel geometriden ziyade değişmeli cebirdir, ancak değişmeli cebir cebirsel geometri için altyapının çoğunu sağladığı için bu hala ilgi çekicidir.

Bölgede ayrıca çok sayıda ilginç doktora tezi bulunmaktadır:

• Andres Mörtberg Doktora Tezi Tip Teorisinde İyileştirmeleri ve Yapıcı Cebiri Biçimlendirme

  Yapıcı bir kanıtınız olduğunda, bir algoritmanız var. Bu tez, bu algoritmaları verimli hale getirmeye çalışıyor.

• Başsel Mannaa'nın Doktora Tezi, Yapıcı Cebir ve Tür Teorisinde Shea Semantics

  Bu tezde, o yapıcı Newton Puiseux teoremi doğruluğunu kanıtladığı gibi Markov ilkesinin bağımsızlığını. Demet semantik yöntemlerin hem geometri hem de mantıkta nasıl uygulamalara sahip olduğuna güzel bir örnek sunar.

• Ingo Blechschmidt doktora tezi, cebirsel geometride toposların iç dilini kullanarak,

  Bu tez, bir tür "sentetik cebirsel geometri" sağlayan, bir şema ile ilişkili küçük Zariski toposunun iç dilinde cebirsel geometrinin olağan kanıtlarının çoğunu yeniden incelemeye bakar. (Ayrıca büyük Zariski topos kullanarak "sentetik şema teorisi" yapar). Beklediğiniz gibi, topoi genellikle Boolean olmadığından, kanıtların sezgisel bir tarzda yapılması gerekir.

Ayrıca aşağıdaki referansı belirtmeye değer:

• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk. Geometri ve Mantıkta Demet, Geometri ve Mantıkta Demet: Topos teorisine ilk giriş .

  Bu çalışmada kullanılan teknolojilerin çoğu topos teorisi, mantık ve geometri arasındaki bağlantılardan gelir. Bu standart referans, ancak çoğunlukla Steve Vickers'ın kağıtları aracılığıyla öğrendim.

Bu tam olarak aradığınız şey olmayabilir, ancak programlama dillerinde cebirsel geometrinin bir uygulaması, doğrusal döngülerin analizidir:

Doğrusal bir döngü, formun çok basit bir programıdır:

$x=s$

Süre $x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

Nerede $s,x\in \mathbb Q^d$ ve $A\in \mathbb Q^{d\times d}$bir matristir. Set$F$ "Halojen" terimi, basit bir şekilde tarif edilen bir küme (örn., bir politop veya bir semialgebraik küme) olabilen bir sonlandırma koşuludur.

Bu döngülerin analizi genellikle matris yörüngesinin analizine eşittir$A$, yani $\{A^ns: n\in \mathbb N\}$. Bu da, özdeğerlerin güçlerinin analizini içerir.$A$davranışı cebirsel geometri kavramları ile yakın bağlantısı olan (örn. Masser temel teoremi).

Yörünge Probleminin Karmaşıklığı Üzerine makalesine iyi bir başlangıç ​​noktası olarak bakabilirsiniz .