Hangi Tamsayılı Doğrusal Programlar kolaydır?

Bir problemi çözmeye çalışırken, bunun bir kısmını aşağıdaki tamsayı doğrusal program olarak ifade ettim. Burada olarak verilen pozitif tamsayılar girişin bir parçası. değişkenlerinin belirtilen bir alt kümesi sıfıra ayarlanır ve geri kalanı pozitif integral değerleri alabilir: $\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$ $x_{ij}$

küçültmek

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

Konu:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

Bu tamsayı programının polinom zamanında çözülebilir olup olmadığını bilmek istiyorum; orijinal sorunum çözülürse ve değilse başka bir yol denemek zorundayım. Benim sorum şu:

Belirli bir tamsayılı doğrusal programın polinom zamanında çözülüp çözülemeyeceğini nasıl anlayabilirim? Hangi tam sayı doğrusal programlarının kolay olduğu bilinmektedir? Özellikle, yukarıdaki program polinom zamanında çözülebilir mi? Beni bu konudaki bazı referanslara yönlendirebilir misiniz?

— gphilip
kaynak

Yanıtlar:

Bu, ulaşım probleminin (veya minimum maliyet akış probleminin) özel bir durumudur ve bu nedenle polinom zamanında çözülebilir. Katsayı matrisi, iki taraflı bir grafiğin insidans matrisi olduğundan tamamen imodülerdir.

Aşağıdaki Wikipedia makaleleri yararlı olabilir.

— Yoshio Okamoto
kaynak

@Yoshio: Teşekkür ederim, bu benim özel sorun örneğimi cevaplıyor (kendim için doğruladıktan sonra). Bir polinom zaman çözümünü garanti eden total unimodularity dışındaki koşulları biliyor musunuz?

— 11:58

@gphilip: Bu soruları "çokyüzlünün bütünlüğü" terimiyle özetleyeceğim ve bu konudaki literatür çok büyük. Gerard Cornuejols (2001'de yayınlandı) tarafından yazılan "Kombinatoryal Optimizasyon: Paketleme ve Örtme" kitabı bu hat boyunca çeşitli sonuçları açıklamaktadır.

— Yoshio Okamoto

@Yoshio: Neden katsayı matrisinin iki taraflı bir grafiğin insidans matrisi olduğunu düşündüğünüzü söyleyebilir misiniz? Cehaletimi affedin, ancak bir katsayı matrisinden bahsetmek için, önce tüm kısıtlamaları standart forma ( ) dönüştürmemiz gerekmiyor mu? Bunu yaptıktan sonra, matris -1 girişe sahip olacak ve daha sonra bir insidans matrisi (AFAIK) tanımıyla eşleşmiyor. Ya biz katsayı matrisinin konuşabilir Eğer durum olmadan ilk standart forma kısıtlamaları dönüştürme?

A x \leq b

$Ax\le b$

— gphilip

@gphilip: Affedersiniz. Örtük bir kısa yol yaptım ve katsayı matrisinden standart forma geçmeden konuşuyordum. Aşağıdaki kısa yolları kullandım. (1) tamamen imimodüler değilse (kısaca TU), o zaman da TU'dur, yani eşitsizliklerin yönünü önemsememiz gerekmez. (2) TU ise, o zaman da TU'dur, yani eşitlik kısıtlamalarına önem vermemiz gerekmez. (3) TU matrisinin her alt matrisi TU'dur. Bu kuralları bir bipartit grafiğin insidans matrisine uygulamak standart formun özelliğini kanıtlamalıdır.

A

$A$

- A

$-A$

A

$A$

[A ∣ - A]

$[A \mid -A]$

— Yoshio Okamoto

Kısayol kurallarımı aşağıdaki gibi değiştireyim. (1) Bir satırın çoğaltılması, toplam belirsizliği korur. (2) Bir sıranın işaretinin ters çevrilmesi, tam bir değişmezliği korur. İşi yapmalılar.

— Yoshio Okamoto

Genel olarak söylemek zor. Ancak yeterli bir koşul, kısıtlama matrisinizin tamamen unimodüler olması ve sağ tarafın her zaman tamsayı olmasıdır (bu durumda sağ taraf tamsayıdır, ancak hala unimodülerliği kontrol etmeniz gerekir)

Şuna bir göz atmalısınız: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_program#Integer_unknowns

— Vinicius dos Santos
kaynak

Matrisinizi düşünüyordum ve tamamen değişmez görünüyor.

— Vinicius dos Santos

@Vinicius: Matrisin size neden tamamen unimodüler göründüğünü söyleyebilir misiniz? Yoshio'nun yorumuna rağmen bunu anlayamadım (lütfen cevabımı orada görün).

— gphilip

@gphilip: "Ortak tamamen unimodüler matrisler" bölümündeki en.wikipedia.org/wiki/Unimodular_matrix'te , ilk madde bir matrisin unimodüler olması için yeterli koşulları listeler. Yoshio'nun yorumladığı kısayollarla birlikte bu koşulların, problemin polinom zamanında çözülebileceğini göstermek için yeterli olduğunu düşünüyorum.

— Vinicius dos Santos

@gphilip: Bu Doğrusal Programın motivasyonu nedir?

— Vinicius dos Santos

@Vinicius: Bazı iyi özelliklere sahip başka bir matris elde etmek için girdi matrisini belirli bir şekilde değiştirmek açısından ifade edilen bir sorunu çözmeye çalışıyoruz. Bu LP süreç boyunca bir alt problemden çıktı.

— gphilip

Sadece eşitliklere sahip bir tamsayı programı doğrusal program ile çözülebilir.

— T ....
kaynak

bu kendi iyiliği için önemli görünüyordu.

— T ....

Buna tamsayı programı demezdim. Tamsayılar üzerinde doğrusal denklemler sistemidir, Hermite normal formunu hesaplayarak verimli bir şekilde çözülebilir.

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov yozlaşmış bir dava ama kesinlikle geçerli bir dava.

— T ....

neden olumsuz oy?

— T ....